第五章相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二次型的概念 三 二次型的矩阵表示 二次型的标准形 四、二 次型的秩 五、小结
第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形 二、二次型的矩阵表示 三、二次型的标准形 五、小结 一、二次型的概念 四、二次型的秩
第五章相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 ax2 +2bxy cy2 d (5-9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度0，做旋转变换 x=x'cose-y'sine, y=x'sin0+y'cose
第五章 相似矩阵与二次型 二次型的理论起源于化二次曲线、二次曲面的 方程为标准形的问题.我们知道在平面解析几何中， 当坐标原点与曲线中心重合时，有心二次曲线的一 般方程是 2 2 ax bxy cy d + + = − 2 (5 9) 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，可选择 适当的角度θ，做旋转变换 cos sin , sin cos , x x y y x y = − = +
第五章相似矩阵与二次型 把方程5-9)化成标准方程 a'x'2+cy"2 d (5-10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式
第五章 相似矩阵与二次型 把方程(5-9)化成标准方程 2 2 a x c y d + = − (5 10) (5-10)式左边是一个二元二次齐次多项式，它只 含有平方项.我们把该问题推广到一般情况，从而建 立起二次型理论。该理论在数学和物理中都有广泛的 应用，它是线性代数的重要内容之一.其中心问题是 讨论如何把一般二次齐次多项式经可逆线性变换转化 成平方和的形式
第五章相似矩阵与二次型 一、二次型的概念 定义5.5.1含有个变量x1,x2,.,xn的二次齐次多项式 f(x,x2,xn)=ax2+22x2+.+2nxx。 +a22x+.+202n2n++anmx (5-11) 称为关于x1,水2，.，x的二次型，简称二次型 当a是复数时，f称为复二次型； 当a是实数时，f称为实二次型
第五章 相似矩阵与二次型 ( ) 1 2 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 2 2 22 2 2 2 1 2 5.5.1 , , , , , , 2 2 2 (5 11) , , , . n n n n n n nn n n n x x x f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x x x = + + + + + + + + − 定义 含 二次 有 个变量 的二次齐次多项式 称为关于 的二次型,简称 型 , ; , . ij ij a f a f 当 是复数时 称为 当 是实数时 称 复二次型 为实二次型 一、二次型的概念
第五章相似矩阵与二次型 例如x+x,x2+3x1x3+2x+4x2水3+3x ix x,+5x2+(3+i)xx3+2xx 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型 设由1,2.，yn到变量x1,x2,xm的线性变换为 X1=C11+C12Jy2+.+C1myn, x2 =C211+c22y2+.+c2nyn> (5-12) Xn=cmy+cn2y2+.+cnnyn
第五章 相似矩阵与二次型 例如 都为二次型；我们下面讨论的二次型均为实二次型. 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 4 3 2 4 3 5 (3 ) 2 x x x x x x x x x ix x x i x x x x + + + + + + + + + 1 2 1 2 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , , , , , , , (5 12) . n n n n n n n n n nn n y y y x x x x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y = + + + = + + + − = + + + 设由 到变量 的线性变换为