《线性代数》课程教学课件（讲稿，B）第五章 相似矩阵与二次型 §5.5 二次型及其标准形

第五章相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式：X=CY 其中 X= x2 ,Y= y2 C=(Cij)nxn ●●● Xn yn 若将(5-12)式代入(5-11)式，那么得到的 关于y,y2,.,y的多项式仍为二次齐次多项式。 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章 相似矩阵与二次型 或写成为矩阵形式: X CY = 1 1 2 2 , ( )ij n n n n x y x y X Y C c x y              = = =               其中 ， 1 2 5 12 5 11 , , , . n y y y 若将（ − − ）式代入（ ）式，那么得到的 关于 的多项式仍为二次齐次多项式. 可见，线性变换把二次型变为二次型

第五章相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 取射=ag则2ax,x,=ag,x,+0x,x,(i<j) 于是 f=1x7+412X1x2++41mxn +421X2X1+42X2+.+02nX2Xn aman+am =X1(a11x1+a12X2++41nxn) +x2(M21X1+422X2+.+42mXn) +.+Xn(anlX1+Ln2X2+.+AnnXn)

第五章 相似矩阵与二次型 二、二次型的矩阵表示 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n nn n f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x = + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +     2 ( ) ji ij ij i j ij ji i j j i 取a a a x x a = = +  ，则 x x x x a i j 于是

第五章相似矩阵与二次型 011X1+412X2+.+41nXn 021火1+022X2+.+2nm =[X13x2,.,xn] n火1+n2X2+.+ann火n」 12 L21 l22 =[X1,x2,.,Xn 七2 @m n

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] n n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x             =             11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 2 1 1 2 2 [ , , , ] n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x   + + +   + + + =         + + +

第五章相似矩阵与二次型 12 XI 记 A= 2 X= X2 Xn 则二次型可记作f=XAX,其中A称为二次型的矩阵， 显然，A是对称矩阵

第五章 相似矩阵与二次型 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , , n n n n nn n a a a x a a a x A X a a a x             = =             记 则二次型可记作 , . f X AX A =  其中 称为二次型的矩阵 显然，A是对称矩阵

第五章相似矩阵与二次型 二次型(5-11)的矩阵A的元素满足， 当i≠时，a=是二次型xx,项的系数的一半； 当i=时，an是x项的系数 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系

第五章 相似矩阵与二次型 2 , . ij ji i j ii i A i j a a x x i j a x  = = 二次型(5-11)的矩阵 的元素满足 当 时， 是二次型 项的系数的一半； 当 时, 是 项的系数 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．