北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.4）特征值与特征向量

而45的坐标是A0 又a(5)=g 0 01 于是A A:|,从而(λE-A) 0. 0 On 0 01 是线性方程组(E-4)X=0的解 0 又∵ξ≠0, ≠0 0

6 而0 的坐标是 01 0 0 , n x x         0 01 01 0 0 , n n x x A x x               于是   0 又  ( )    0 01 0 ( ) 0. n x E A x          从而  01 0 0, 0, n x x          又   即 是线性方程组 的解， 01 0n x x        0 ( E  A)X  0

从而(E-A)X=0有非零解 所以它的系数行列式风E-4=0 以上分析说明: 若是a的特征值,则AE-A=0 反之,若∈P满足AE-A=0, 则齐次线性方程组(A0E-A)X=0有非零解 若(x 019~02 ,xn)是(E-A)X=0一个非零解, 则向量5=xn61+…+xE,就是a的属于2的一个 特征向量

7 以上分析说明： 所以它的系数行列式 0  E  A  0. 从而 ( 0E  A )X  0 有非零解. 若 是 的特征值，则 0  E  A  0. 0  反之，若 0  P 满足 0 E  A  0, 则齐次线性方程组 ( 0E  A) X  0 有非零解. 若 ( x 01 , x0 2 , , x0 n )是 ( 0E  A) X  0 一个非零解， 特征向量. 则向量   x 01 1    x0 n  n 就是  的属于 0的一个

特征多项式的定义 设A∈P",λ是一个文字,矩阵AE-A称为 A的特征矩阵,它的行列式 无E-A n 称为A的特征多项式 (f4(4)是数域P上的一个n次多项式)

8 设 , 是一个文字，矩阵 称为 n n A P    E  A 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ( ) n n n n nn A a a a a a a E A a a a f                  称为A的特征多项式. 1. 特征多项式的定义 A的特征矩阵，它的行列式 （ f A ( )是数域P上的一个n次多项式）

注: ①若矩阵A是线性变换σ关于V的一组基的矩阵, 而是a的一个特征值,则是特征多项式fA() 的根,即fA(40)=0 反之,若是A的特征多项式的根,则λ就是 的一个特征值.(所以,特征值也称特征根.) ②矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 而相应的线性方程组(E-A)X=0的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量

9 ② 矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 注： ① 若矩阵A是线性变换  关于V的一组基的矩阵， 而 0是  的一个特征值，则 是特征多项式 ( ) A 0 f  的根，即 0 ( ) 0. A f   的一个特征值. 反之，若 0是A的特征多项式的根，则 0就是 （所以，特征值也称特征根.） 而相应的线性方程组 ( E  A )X  0 的非零解也就 称为A的属于这个特征值的特征向量