一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 P{X=x}=p,i=1,2,. 若级数∑xP,绝对收敛，则称级数∑xP,为X的数学期望， 记为E(X).即 E()-2n 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y的数学期 望 E(Y)= 0×P0+1×P1+2×P2+3×P3+4×P4+5×p5 2024年8月27日星期二 7 目录>上页 下页 返回」
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 一、离散型随机变量的数学期望 定义：设X是离散型随机变量，其分布律为 = = = , 1,2,. P X x p i i i 若级数 绝对收敛， 1 i i i x p = 则称级数 为X的数学期望， 1 i i i x p = 记为E(X). 即 1 ( ) i i i E X x p = = 射击问题 “平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期 望 0 1 2 3 4 5 . ( ) p0 p1 p2 p3 p4 p5 E Y + + + + + =
关于定义的几点说明 (1)EX)是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现 了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称 均值. (2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变. (3)随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变
X 12 假设 0.02 0.98 随机变量X的算术平均值为 1+ 2 2=1.5, E(X)=1×0.02+2×0.98=1.98. 0 它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值 当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等. 2024年8月27日星期二 目录今 上页> 下页 。返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 x O • 随机变量 X 的算术平均值为 1.5, 2 1 2 = + 假设 E(X) = 1 0.02 + 2 0.98= 1.98. 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. • 1 • 2 • • X 1 2 p 0.02 0.98
例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：(1)每个人的血分别化验，须验次； (2)把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k十1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2)可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 解：设q=1-p,则k个人的混合血呈阳性的概率为1-gk。 对于方法(2)，每个人的血需化验的次数X是随机变 量，其分布律为： 1 k+1 X n9+4'X1-9 20240年637阳星期9 =1-g+ 10 目录 (上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次； （2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 解：设q=1-p，则k个人的混合血呈阳性的概率为1-q k 。 对于方法（2），每个人的血需化验的次数X是随机变 量，其分布律为： k q q k k q k E X k k k 1 1 )(1 ) 1 ( 1 ( ) = − + − + = + k k P q q k k k X − + 1 1 1
例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1)每个人的血分别化验，须验N次： (2)把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k十1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2)可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当。 因此，只要选择k,使1-q+<,则可减少验血次数。 关于最佳k的选择： 求：min1-+2 2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 11 目录 上页 下页 返回 关于最佳k的选择： 因此，只要选择 ，使： 1，则可减少验血次数。 1 k 1− + k q k 1 min(1 ) k k q k 求： − + 例：在一个人数很多的团体中普查某种疾病，N个人去验血， 用两种方法来化验血：（1）每个人的血分别化验，须验N次； （2）把k个人的血液混在一起化验，如果是阴性的，则对这k个 人只需作一次化验，如果是阳性的，则对该k个人再逐个分别化 验，此时共需作k＋1次化验。假定对所有人来说，化验是阳性 反应的概率都是p，且这些人的反应是相互独立的。试说明按方 法（2）可减少化验次数，并说明k取何值时最为适当