72估计量的许运标准 一、无偏性 二、有效性 二、相合性 2024年8月27日星期二 2 目录○ (上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.2 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 二、相合性
问题的提出 从上一节可以看到，对于同一个参数，用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同.而且， 很明显，原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量 问题 ()对于同一个参数究竞采用哪一个估计量好？ 2)评价估计量的标准是什么？ 下面介绍几个常用标准. 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页> 下页 、返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 问题的提出 从上一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准
一、无偏性 定义1设(X,X2,.,Xn)是未知参数0的一个估计量， 若 E[武X,X,.,X)】]=0 对所有0∈⊙成立，则称(X,X,X)为0的无偏估计 量(unbiased estimator),否则称fX,X,X,)为0的 有偏估计量(biased estimator). 在科学技术中，E0-0称为以0作为0的估计的系 统误差(system error).无偏估计的实际意义就是无系 统误差. 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 一、无偏性 定义1 设 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n 是未知参数 的一个估计量， 若 1 2 ˆ ( , , , ) , E X X X n = 对所有 成立，则称 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n 为 的无偏估计 量(unbiased estimator)，否则称 1 2 ˆ ( , , , ) X X X n 为 的 有偏估计量(biased estimator)． 在科学技术中， E ˆ − 称为以 ˆ 作 为 的估计的系 统误差(system error)．无偏估计的实际意义就是无系 统误差．
【例10】设总体X的数学期望为4（未知)， X1,X2,.,Xn为取自总体X的样本，试判断统计量 又-之x和7-立aX是否为4的无偏估计量，其中 a,(i=1,2.,m为常数且∑a=1. 解由盛-之x2x,之“=4， BT-6ax -atx,-San-uza-u. 得，统计量和T都是山的无偏估计量， 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 【 例 10 】 设总体 X 的数学期望为 ( 未 知 ) ， 1 2 , , , X X Xn 为取自总体 X 的样本，试判断统计量 1 1 n i i X X n = = 和 1 n i i i T X = = 是否为 的无偏估计量，其中 ( 1,2 , ) i i n = 为常数且 1 1 n i i = = ． 解 由 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i EX E X EX n n n = = = = = = = ， 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i i i ET E X EX = = = = = = = = = ， 得，统计量 X 和T 都是 的无偏估计量．
【例11】设总体X的数学期望、方差均未知， X,X2,.,X,为取自总体X的样本，证明样本方差 分2〔x灯为心的无偏估计，而祥本二阶中 心矩B,=∑(X,-)'不是σ的无偏估计. 证明 由第六章的定理3知 "心e-a2l ES2=02 即S2是σ2的无偏估计， 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【 例 11】 设总体 X 的数学期望、方差均未知， 1 2 , , , X X Xn 为取自总体 X 的样本，证明样本方差 ( ) 2 2 1 1 1 n i i S X X n = = − − 为 2 的无偏估计，而样本二阶中 心矩 ( ) 2 2 1 1 n i i B X X n = = − 不是 2 的无偏估计． 证明 由第六章的定理3知 2 2 2 ( 1) ~ ( 1), n S n − − 2 2 ( 1) 1, n S E n − = − 2 2 ES = . 即 2 S 是 2 的无偏估计．