第五章大数定律和中心极限定理 §5.1大数定律 §5.2中心极限定理 2024年8月27日星期二 2 、目录> )上页（下页返回
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§5,1大数定律 2024年8月27日星期二 3 目录今上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 §5.1 大数定律
有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的， 这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件 下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大 数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条 件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概 率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面 朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多 后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会 发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。 这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性 在大量的样本中得以体现。 简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时， 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率” 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的， 这些“有规律的随机事件” 中在大量重复出现的条件 下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大 数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条 件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概 率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面 朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多 后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就 会 发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。 这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性 在大量的样本中得以体现。 简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时， 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统 偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物 体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但 它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 新接近于物体的真实重量。 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统 偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物 体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但 它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐 渐接近于物体的真实重量
定义1设X,X2,.,Xn,.是随机变量序列，4是一个常 数，若对于任意给定的正数ε，有 lim P{X -uka=1, n-→o∞ 则称随机变量序列{X}依概率收敛于4，记为 XnP→l. 定理1[切贝雪夫(Chebyshev)大数定律]设随机变量 X,X2,.相互独立，若存在常数c使得 DX,≤c,i=1,2,.,则对于任意给定的正数ε，有 四P2x2威<-1 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 定义 1 设 1 2 , , , , X X X n 是随机变量序列， 是一个常 数，若对于任意给定的正数 ，有 lim | | 1 n n P X → − = ， 则称随机变量序列 { } X n 依概率收敛于 ，记为 P X n ⎯⎯→ ． 定 理 1 [切贝雪夫(Chebyshev)大数定律] 设随机变量 1 2 X X, , 相 互 独 立 ， 若 存 在 常 数 c 使 得 , 1,2, DX c i i = ，则对于任意给定的正数 ，有 1 1 1 1 lim 1 n n i i n i i P X EX n n → = = − = ．