7.3区间估计 2024年8月27日星期二 2 目录 上页>（下页○ 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 7.3 区间估计
定义4设X,X,.,Xn是总体X的一个样本，0∈⊙为 未知参数（⊙为0的可能取值范围），对于给定值 a(0<a<1),如果存在两个统计量0，(X,X2,.,X,)和 O2(X1,X2,.,Xn)满足 P{0(X1,X2,.,Xm)<0<02(X,X2,.,Xn)}=1-u, 则称随机区间(0，0，)是0的置信度为1-ax的置信区间 (confidence interval),O,g,分别称为置信度为l-a 的双侧置信区间的置信下限(confidence lower limit) 和置信上限(confidence upper limit),l-a称为置信 度或置信水平(confidence level). 2024年8月27日星期二 3 目录 上页」 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 定义 4 设 1 2 , , , X X Xn 是总体 X 的一个样本， 为 未知参数( 为 的可能取值范围)，对于给定值 ( 0 1 )，如果存在两个统计量 1 1 2 ( , , , ) X X X n 和 2 1 2 ( , , , ) X X X n 满足 P X X X X X X 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) 1 n n = − ， 则称随机区间 1 2 ( , ) 是 的置信度为1− 的置信区间 (confidence interval)，1 ，2 分别称为置信度为1− 的双侧置信区间的置信下限(confidence lower limit) 和置信上限(confidence upper limit)，1− 称为置信 度或置信水平(confidence level)．
关于定义的说明 被估计的参数虽然未知但它是一个常数 没有随机性而区间(8，O,)是随机的 因此定义中下表达式 P{0(X1,X2,L,Xm)<B<02(X1,X2,L,Xn)}=1-a 的本质是： 随机区间(0,02)以1-a的概率包含着参数的真值， 而不能说参数8以1-a的概率落入随机区间9，O2), 2024年8月27日星期二 4 目录 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 关于定义的说明 , ( , ) . , , 没有随机性 而区间 1 2 是随机的 被估计的参数 虽然未知 但它是一个常数 : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 1 2 2 1 2 的本质是 因此定义中下表达式 P X X L Xn X X L Xn = − 1 ( , ). ( , ) 1 , 1 2 1 2 而不能说参数 以 的概率落入随机区间 随机区间 以 的概率包含着参数 的真值 − −
另外定义中的表达式 P{0(X1,X2,L,Xn)<0<02(X1,X2,L,Xn)}=1-a 还可以描述为： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是） 每个样本值确定一个间(0,0)， 每个这样的区间或包含0的真值或不包含O的真值， 在这样多的区间中， 包含真值的约占100(1-ax)%,不包含的约占100a%. 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 : { ( , , , ) ( , , , )} 1 1 1 2 2 1 2 还可以描述为 另外定义中的表达式 P X X L Xn X X L Xn = − 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) ( , ), 每个样本值确定一个区间1 2 在这样多的区间中, 包含真值的约占100(1−)%,不包含的约占100%. 每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值
【例14】 设X1,X2,.,Xn为来自正态总体 X~N(4,o2)的样本，其中o2已知，4未知，求μ的 置信度为1-α的置信区间. 解因为总体均值山可用样本均值来估计，且 ~N(u,a),从而有统计量 U= -'-N0,) o//n 由标准正态分布的对称性以及α分位数的定义可知 P{U<u2}=P{-42<U<4a2}=1-a 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页○ 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 【 例 14 】 设 1 2 , , , X X Xn 为 来 自 正 态 总 体 2 X N~ ( , ) 的样本，其中 2 已知， 未知，求 的 置信度为1− 的置信区间． 解 因为总体均值 可用样本均值 X 来估计，且 2 X N ~ ( , ) n ，从而有统计量 ~ (0,1). / X U N n − = 由标准正态分布的对称性以及 分位数的定义可知 P U u P u U u / 2 / 2 / 2 1 . = − = −