第二节方差 一、方差的定义及计算公式 二、离散型随机变量的方差 三、连续型随机变量的方差 四、方差的性质 2024年8月27日星期二 1 目录今（上页>下页返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第二节 方差 二、离散型随机变量的方差 三、连续型随机变量的方差 四、方差的性质 一、方差的定义及计算公式
一、方差的定义及计算公式 引例：设X,Y,Z的分布律分别为 P{X=0}=1 P=-=2P化==习 P(Z=-100}=2P{Z=100}=2 虽然X,Y,Z的数学期望（平均值）都为0，但Y分散程度 比X大，Z分散程度比Y大。 问题：如何定义随机变量的分散程度？ 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、方差的定义及计算公式 引例：设X，Y，Z的分布律分别为 P X = = 0 1 1 1 1 , 1 2 2 P Y P Y = − = = = 1 1 100 , 100 2 2 P Z P Z = − = = = 虽然X，Y，Z的数学期望（平均值）都为0，但Y分散程度 比X大，Z分散程度比Y大。 问题：如何定义随机变量的分散程度？
定义：设x是一个随机变量，若Ex-EX}存在， 则称ELx-E(X}为X的方差。记为D)或ar), 即 DX)=m(0=E{X-E(} 称√D(X)为X的均方差或标准差.记为σ() 可见 (x)= x-E(XPX=},离散型情形 k C[x-E(Xf(x)ak,连续型情形 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 定义：设X是一个随机变量，若 2 E X E X − ( ) 存在， 则称 为X的方差。 2 E X E X − ( ) 记为 D (X) 或 Var (X). 2 D X Var X E X E X ( ) ( ) ( ) = = − 即 称 D X( ) 为X的均方差或标准差。记为 σ (X). 可见 − − = = − = 连续型情形 离散型情形 [ ( )] ( ) , [ ( )] { } , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X P X x D X k k k
方差的意义 方差是一个常用来体现随机变量X取值分 散程度的量.如果D()值大，表示X取值分 散程度大，E()的代表性差；而如果D()值 小，则表示X的取值比较集中，以E()作为 随机变量的代表性好. 2024年8月27日星期二 4 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分 散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值 小, 则表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为 随机变量的代表性好. 方差的意义
推论 D(X)=E(X-E(X)P 证明： D(X)-EIX-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)] =E(X2)-[E(X)]2 例：设X是掷一颗均匀的骰子所得的点数，求D)。 解：由上一节的内容，可知E()=7/2 E(X)=1x2+2x2+32x+4x+5× +62×191 6 66 因此 DX灯)=Bx)-EXT- 7 35 6 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 推论 D(X)=E(X2 )―[E(X)]2 证明: D(X)=E[X―E(X)] 2 { 2 ( ) [ ( )] } 2 2 = E X − XE X + E X 2 2 = E(X ) − 2E(X)E(X) +[E(X)] 2 2 = E(X ) −[E(X)] 例：设X是掷一颗均匀的骰子所得的点数，求D(X)。 解：由上一节的内容，可知E(X)=7/2. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 91 ( ) 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 E X = + + + + + = 因此 2 2 2 91 7 35 ( ) ( ) [ ( )] 6 2 12 D X E X E X = − = − =