第四节相五独立的随机变量 若P{X≤x,YSy}=PX≤x}P{YSy}.则称{X≤x},{Y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念. 定义：对于一个二维随机变量(X,),若对所有的x和y, 有 P{X≤x,YSy}=P{X≤x}P{Yy} 即F(x,y)=F(x)FOy),则称随机变量X和Y相互独立。 2024年8月27日星期二 1 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第四节 相互独立的随机变量 若P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 则称{X ≤ x},{Y≤y} 这两个事件相互独立。 自然地，将这个等式推广到对所有的x和y都成立， 就得到了随机变量独立的概念． 定义：对于一个二维随机变量(X, Y)，若对所有的x和y， 有 P{X ≤ x,Y≤y}=P{X ≤ x}P{Y≤y}. 即F(x,y)=FX (x) FY (y), 则称随机变量X 和Y相互独立
在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件. (1)对于离散型随机变量(X,),X和Y相互独立等价于 p(X=x.Y=y)=P(X=x)P(Y=) 若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P(X=xi,Y=yi}=pi,i,j=1,2,L. X和Y相互独立←望=P。·P” 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 X 和Y 相互独立 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,L. i j i j . pij pi• p• j = 在实际应用中，我们判断两个随机变量的相互独立 性，更多的是使用下面的两个等价条件． (1)对于离散型随机变量(X, Y)， X 和Y相互独立等价于 P X x Y y P X x P Y y = = = = = i j i j ,
(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有 X和Y相互独立一f(x,)=fx(x)fr(y), (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立， 2024年8月27日星期二 3 目录上页下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 f (x, y) f (x) f ( y). = X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y )也相互独立
例：己知随机变量X和Y相互独立，且分布律为 X 2 1 1 0 6 9 18 1 1 B 求a,B。 解：由于随机变量X和Y相互独立， 可知 P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0} 即 s-(biaH(o-o-m) 得a- 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 、返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：已知随机变量 X 和Y 相互独立，且分布律为 X Y 1 1 1 6 9 18 1 3 0 1 2 0 1 求α，β。 解：由于随机变量 X 和Y 相互独立， 可知 P X Y P X P Y = = = = = 1, 0 1 0 即 1 1 1 1 1 9 9 6 9 18 = + + + 得 2 9 =
类似地，P{X=2,Y=0}=P{X=2}P{Y=0} 即8+a6与)得a-时 2024年8月27日星期二 5 目录上页下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 类似地， P X Y P X P Y = = = = = 2, 0 2 0 即 1 1 1 1 1 18 18 6 9 18 = + + + 得 1 9 =