第四节 随机变量岛数的分布 己知随机变量的分布 随机变量函数的分布 2024年8月27日星期二 1 目录○ 上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第四节 随机变量函数的分布 已知随机变量的分布 随机变量函数的分布
离散型随机变量函数的分布 例：若随机变量X的分布律为 X|-1012 1 111 Pk 188 注意 求：Y=2X+1和Z=X2的分布律 C合并) 解： y-1 13 Z 0 1。 1 1 Pk 2488 Pk 4 28 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 例：若随机变量X的分布律为 1 0 1 2 1 1 1 1 2 4 8 8 − k X p 求： Y X = + 2 1 和 的分布律。 2 Z X = −1 1 3 5 k Y p 1 2 1 4 1 8 1 8 解： 0 1 4 k Z p 1 4 1 1 2 8 + 1 8 离散型随机变量函数的分布 注意 合并
连续型随机支量函数的分布 设连续型随机变量X的概率密度为f)。y=g 为一个连续函数，求随机变量=gX的概率密度。 一般方法： ()求Y的分布函数Fy) 根据分布函数的定义 F,(y) P(Y<y)=P(g(X)<y) =P(X∈{xg(x)<y) (2)对F)求导，得到fy) 解不等式转化 f(y)=F(y) 为求关于X的概率 2024年8月27日星期二 不八工火T回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 连续型随机变量函数的分布 设 连续型随机变量X 的概率密度为 f (x)。y = g(x) 为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度。 (1) 求Y的分布函数 FY (y) ( ) F y Y 根据分布函数的定义 P Y y ( ) = P g X y ( ( ) ) (2) 对FY (y) 求导，得到 fY (y) 一般方法： ( ) ( ) Y Y f y F y = = P X x g x y ( ( ) ) 解不等式转化 为求关于X的概率
例：若X~UU(0,1),求Y=2X+1的概率密度。 解：由题意可知，X的概率密度为 f(x)= [1,0<x<1, 10, 其它 分别记X,Y的分布函数为Fx),Fy)。 BO)-PY5-Px1-xE22 将Fy)关于y求导： 升洁卡 其它. 2024年8月27日星期二 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：若X～U(0,1)，求Y=2X+1的概率密度。 解：由题意可知， X的概率密度为 1, 0 1, ( ) 0, x f x = 其它. 分别记X，Y的分布函数为FX (x) ， FY (y)。 F y P Y y Y ( ) = = + P X y 2 1 1 2 − = y P X 1 ( ) 2 − = X y F 将 FY (y)关于y求导： ( ) Y f y 1 1 2 2 − − = X y y f 1 1 1 , 0 1, 2 2 0, y − = 其它. 1 , 1 3, 2 0, y = 其它
例：设正方形边长X的概率密度为 2x,0<x<1 fx(x)= 其它 求它的面积Y的概率密度。 0 解：当0时，F(y)=PY<y以=P{X2<以=0 →(y)=Fy)=0 当20时，F)=P{X2≤y=F(N)-F(←) →-阿 25×布0610cy<1 其它 0, 其它 0 2024年8月27日星期 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 例： 设正方形边长 X 的概率密度为 求它的面积 Y 的概率密度。 ( ) 2 , 0 1 0, = X x x f x 其它 F y P Y y Y ( ) = 2 = P X y 1 2 0, 0 2 , 1 = y y y 其它 1, 0 1 0, = y 其它 解：当 y<0时， = 0 = = ( ) ( ) 0 Y Y f y F y 当 y≥0时， 2 F y P X y Y ( ) = = − − ( ) ( ) F y F y X X ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 = − − − Y X X f y f y f y y y