第五节两个随机变量的品数的分布 一、Z=X+Y的分布 二、Z=max{X,乃，Z=min{X乃的分布 三、Z=Y/X的分布 2024年8月27日星期二 1 目录（上页（下页 返回>
2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第五节 两个随机变量的函数的分布 一、Z=X+Y的分布 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 三、 Z=Y / X 的分布
一、Z=X+Y的分布 例：己知X和Y的联合分布律为 0 1 0 0.4 0.1 1 0.2 0.3 求Z=X+Y的分布律。 解：由题意知，Z=X+Y的分布律为 Z=X+Yy川012 P0.40.30.3 2024年8月27日星期二 2 目录) 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一、Z=X+Y的分布 例：已知X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 0.4 0.1 1 0.2 0.3 求 Z=X+Y的分布律。 解：由题意知， Z=X+Y的分布律为 0 1 2 0.4 0.3 0.3 Z X Y P = +
例证明：如果X与Y相互独立，且X~B(np), Y~B(m,p),则X+Y~B(n+m,p)。 证明X+Y所有可能取值为0,1，.，m+n. P(X+y=)=∑P(X=i,y=k- =∑P{x=}PY=k-} =∑Cp'g.Cpg"-t4 证毕 i=0 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 例 证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n, p）， Y~B（m, p），则X+Y~B（n+m , p）。 证明 X+Y所有可能取值为 0，1，.，m+n. 0 , k i P X Y k P X i Y k i = + = = = = − 0 k i P X i P Y k i = = = = − 0 k i i n i k i k i m k i n m i C p q C p q − − − − + = = 0 k i k i n m i k n k m p q C C = + − − = k k n k m m n C p q + + − = 证毕
以上讨论了两个离散型随机变量X,Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X,Y和的分布密度。 若(X,)是连续型随机变量，设f(x,y)为其概率密度。 则Z=X+Y的分布函数为 F(a)=P{Z≤z}=P{X+Y≤} x+y=z =df(x.y)dy dxf(x,u-x)du =∫dfx,u-xd 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 以上讨论了两个离散型随机变量X，Y和的分布律。 下面讨论两个连续型随机变量X，Y和的分布密度。 若(X, Y)是连续型随机变量，设f (x,y)为其概率密度。 y x y z + = x o y x y z + = x o 则 Z=X+Y的分布函数为 F z P Z z P X Y z Z ( ) = = + d ( , )d z x x f x y y + − − − = d ( , )d y u x z x f x u x u = − + − − = − d ( , )d z u f x u x x + − − = −
或F(a)=P{Z≤z}=P{X+Y≤} dyf(d=dyf(u-y.y)du =J」Ldfu-y,ydy 因此Z=X+Y的概率密度为 f(=)=F(=)=[f(x.z-x)dx=[f(z-y.y)dy 特别地，当X和Y相互独立时，有 f(=)=fx(x)f(=-x)dx=[fr(=-y)f(v)dy 上面的等式称为fx和的卷积。记为f*f。 2024年8月27日星期二 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 F z P Z z P X Y z Z ( ) = = + d ( , )d z y y f x y x + − − − = d ( , )d x u y z y f u y y u = − + − − = − d ( , )d z u f u y y y + − − = − 或 因此 Z=X+Y的概率密度为 ( ) ( ) Z Z f z F z = f x z x ( , )dx + − = − f z y y ( , )dy + − = − 特别地，当X和Y相互独立时，有 ( ) Z f z ( ) ( )d X Y f x f z x x + − = − ( ) ( )d X Y f z y f y y + − = − 上面的等式称为 fX 和 fY的卷积。记为fX * fY