§4.7二次曲线的访射分类 问题:在射影仿射平面上,给定 秩(an) 适当选取仿射坐标系,将r的方程化为仿射标准方程 依据:T的秩,A3的符号,将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类,得到每一类的标准方程 注意:因为无穷远直线l:x3=0在仿射变换下保持不变,故在 选取新的仿射坐标系时必须保持A1,A2总取在l上
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 问题：在射影仿射平面上, 给定 : 0 , ( ) 1. (1) 3 , 1 = = = i j j i i j i j S ai jxi xj a a 秩 a 适当选取仿射坐标系, 将的方程化为仿射标准方程. 依据： 的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类, 得到每一类的标准方程. 注意：因为无穷远直线l∞：x3=0在仿射变换下保持不变, 故在 选取新的仿射坐标系时必须保持A1 ', A2 '总取在l∞上
§4.7二次曲线的访射分类 、「非退化0,秩(an)=3 1.A3:0,有心二阶曲线 取中心为A3,任取一对相异的共轭直径,其与 l的交点分别取作A1,A2.则三点形A12A3为厂 的一个自极三点形 以A14243为坐标三点形,适当选取单位点E(按照(1.10)式要 求),建立新的仿射坐标系.据§44,S=0可以化为 S"l=±x,±x2±x2=0 注意到x1,x2地位平等,而x3特殊,从而有下列三个等价类 x/>02+x2-x2=0实椭圆(x2+y2=1) x2+x2+x2=0虚椭圆(x2+y2=-1) 0 0双曲线(x2-y2=1) 在仿射平面上,任何有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 一、 非退化 |aij|≠0,秩(aij)=3. 1. A33≠0, 有心二阶曲线. 取中心为A3 ', 任取一对相异的共轭直径, 其与 l∞的交点分别取作A1 ', A2 '. 则三点形A1 'A2 'A3 '为 的一个自极三点形. 以A1 'A2 'A3 '为坐标三点形, 适当选取单位点E'(按照(1.10)式要 求), 建立新的仿射坐标系. 据§4.4, S=0可以化为 '' 0. 2 3 2 2 2 S x1 x x = 注意到x1 , x2地位平等, 而x3特殊, 从而有下列三个等价类 − − = − = + + = + = − + − = + = 0 0 ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 3 3 x x x x y x x x x y x x x x y A 双曲线 虚椭圆 实椭圆 在仿射平面上, 任何有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一
§4.7二次曲线的访射分类 、「非退化0,秩(an)=3 2.A3=0,无心二阶曲线,即抛物线 以l为一边的自极三点形不存在取中心(无穷 远切点为A1取一直径与的有穷远交点为A3,A3 处的切线上无穷远点取作为A2 以上述三点形A1243为坐标三点形,适当选取单位点(限制条 件同上)建立仿射坐标系,据§44,习题2(或见本节教材上的论证) r的方程可以化为 a2x2+2a13xx3=0 再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换,可得的仿射标准方程 x2+2xx3=0 (即y2=2px) 在仿射平面上,任何无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 一、 Γ非退化 |aij|≠0,秩(aij)=3. 2. A33 =0, 无心二阶曲线, 即抛物线. 以l∞为一边的自极三点形不存在. 取中心(无穷 远切点)为A1 ', 取一直径与的有穷远交点为A3 ', A3 ' 处的切线上无穷远点取作为A2 '. 在仿射平面上, 任何无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程. 以上述三点形A1 'A2 'A3 '为坐标三点形, 适当选取单位点(限制条 件同上)建立仿射坐标系, 据§4.4, 习题2(或见本节教材上的论证), 的方程可以化为 2 0. ' 3 ' 1 ' 13 2' 2 ' a22 x + a x x = 再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换, 可得的仿射标准方程 2 0. ( 2 ) 2 1 3 2 x2 + x x = 即y = px
§4.7二次曲线的访射分类 秩(an) 二、I退化0 依其奇异点情况及与l的关 秩(an)=1系,分成7个仿射等价类 综上讨论,在仿射平面上,二阶曲线共分为11个等价类任何二 阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述11种标准方程之 请自学教材中的例422.对于仿射平面上任给的(非退化)二阶 曲线I,我们一般需要做的基本工作有: *判断是否退化; *判断是否有心;给出粗略分类; *求出中心坐标; *求出一对共轭直径,或求出符合某条件的直径方程; *求出渐近线; *求仿射坐标变换,化r的方程为仿射标准方程 *利用中心,直径与共轭直径,渐近线等性质,完成几何证明题
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 二、 Γ退化 |aij|=0 综上讨论, 在仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任何二 阶曲线皆可通过适当选取仿射坐标系化为上述11种标准方程之一. 秩(aij) =2 秩(aij ) =1 依其奇异点情况及与l∞的关 系, 分成7个仿射等价类. 请自学教材中的例4.22. 对于仿射平面上任给的(非退化)二阶 曲线, 我们一般需要做的基本工作有： * 判断是否退化； * 判断是否有心；给出粗略分类； * 求出中心坐标； * 求出一对共轭直径, 或求出符合某条件的直径方程； * 求出渐近线； * 求仿射坐标变换, 化的方程为仿射标准方程. * 利用中心, 直径与共轭直径, 渐近线等性质, 完成几何证明题
§4.7二次曲线的访射分类 例7.(P143,Ex7过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦 中点的轨迹为另一条二阶曲线 证明.设P为不在渐近线上的定点,过P的 动弦为x,x上的无穷远点为P 则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分 设此直径为p x绕P变动 P沿L变动 p绕C变动 透视关系 射影关系 射影关系 引申 x与的交点轨迹为条二阶曲线
§ 4.7 二次曲线的仿射分类 证明. 设P为不在渐近线上的定点, 过P的 动弦为x, x上的无穷远点为P. 则x被P的极线(x的共轭方向直径)平分. 设此直径为p. x绕P变动 P沿l变动 p绕C变动 透视关系 射影关系 射影关系 x与p的交点轨迹为一条二阶曲线 例7. (P.143, Ex.7)过不在渐近线上的一定点所作二阶曲线诸弦 中点的轨迹为另一条二阶曲线. 引申