ro∵41=AD1,4p2=A02, A(k1p1+k2p2)=k1(41)+k2(4p2) k1(401)+k2(102)=A0(k1P1+k2D2) k1p1+k2P2是的对应于x的特征向量 推广 如果1,P2,,p是4的对应于的特征向量, 则非零线性组合k1p1+k2P2+…+kP (k1,…k不同时为0也是4的对应于的特征向量 K
Proof. , Ap1 = 0 p1 ( ) A k1 p1 + k2 p2 ( ) ( ) = k1 0 p1 + k2 0 p2 ( ) = 0 k1 p1 + k2 p2 , Ap2 = 0 p2 ( ) ( ) = k1 Ap1 + k2 Ap2 . k1 p1 + k2 p2是A的对应于0的特征向量 推广: ( , 0) . , , , , 1 0 1 1 2 2 1 2 0 不同时为 也是 的对应于 的特征向量 则非零线性组合 如果 是 的对应于 的特征向量 k k A k p k p k p p p p A s s s s + + +
3.若41,2,…,mn是方阵A的各不相同的m个特征值, p1,P2,…,pn依次是与之对应的特征向量, 则p1,P2,…,Pm线性无关 Proo设有常数x1,x2,…,xm使 x1P1+x2P2+…+xmp 则A(x1n1+x2D2+…+xmDm) 即x1xD1+2x2P2+…+ mmp=0, 类推之,有x11+2x22+…xnDn=0. (k=1,2,…,m-1)
, , , . , , , , 3. , , , , 1 2 1 2 1 2 则 线性无关 依次是与之对应的特征向量 若 是方阵 的各不相同的 个特征值 m m m p p p p p p A m Proof. 设有常数 x1 , x2 , , xm 使 0. x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = ( ) 0, 则 A x1 p1 + x2 p2 ++ xm pm = 0, 即 1x1 p1 + 2x2 p2 ++ mxm pm = 类推之, 有 0. 1 1 1 + 2 2 2 + + m m = k m k k x p x p x p (k = 1,2, ,m −1)
把上述各式合写成矩阵形式,得 A122 x2p2 0 m-1 1 上式等号左端的系数矩阵的行列式为范德蒙行列 式当各λ不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵 可逆于是有(x11,x2D2,…,xmpm)=(0,0,…,0), 即x1=0(=12,,m)但D1≠=0,故x,=0=12,…,m 所以向量组p1,P2,…,Dn线性无关
把上述各式合写成矩阵形式，得 − − − m m m m m m m x p x p x p 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 = 0 0 0 可逆 于是有 式 当各 不相等时 该行列式不等于 从而该矩阵 上式等号左端的系数矩阵的行列式为范德蒙行列 . , , 0, i ( , , , ) (0,0, ,0) , 1 1 2 2 = x p x p xm pm x p 0 ( j 1,2, ,m). 即 j j = = 0, j 但 p x 0( j 1,2, ,m). 故 j = = , , , . 所以向量组 p1 p2 pm 线性无关
注意 (1)属于不同特征值的特征向量是线性无关 的 (2)属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量 (3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值 K
注意 (1) 属于不同特征值的特征向量是线性无关 的． (2) 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量． (3) 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
三.特征值与特征向量的求法 ∵Ax=Ax, (E-4)x=0, x≠O,即上述矩阵方程有非零解, 也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解 ∴AE-A=0 12 n 即 21 22 2n=0 n2 元-an 由此可求得特征值
三.特征值与特征向量的求法 Ax = x, (E − A)x = O, x O,即上述矩阵方程有非零解, 也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解. E − A = 0. 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − − − − − − − − − n n nn n n a a a a a a a a a 即 由此可求得特征值