2.区间 第一章函数、连续与极限 设a和b都是实数，且a<b, (a,b) 数集{xa<x<b}称为开区间，记作(a,b) b x (见图1-7)，即(a,b)={xa<x<b} 图1-7 a和b称为开区间(a,b)的端点，其中a为左端点，b为右端点，且a(a,b), b(a,b).类似地，数集{xa≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b](见图1-8)， [a,b] b x 图1-8 即[a,b]={xla≤x≤b} a和b也称为闭区间[a,b]的端点，且a∈[a,b],b∈[a,b].☒
11 2.区间 第一章 函数、连续与极限 数集 x a x b 称为开区间，记作 (a b, ) （见图1-7），即 (a b x a x b , ) = 和 称为开区间 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， . 类似地，数集 称为闭区间，记作 （见图1-8）， a b (a b, ) a b a a b ( , ) b a b ( , ) x a x b a b, 即 𝑎 , 𝑏 = { 𝑥|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 } . 图1-7 设 a 和 b 都是实数，且 a b ， 图1-8 a 和 b也称为闭区间 a b, 的端点，且 a a b , ， . b a b , a b x (a,b) [a,b] a b x
2.区间 第一章函数、连续与极限 数集{xa≤x<b}及{xa<x≤b}称为半开区间，分别记作[a,b)和(a,b](见图1-9 和图1-10). [a,b) (a,b] 图1-9 b 图1-10 以上这些区间都称为有限区间，数b-α称为这些区间的长度.从数轴上看，这些 区间是长度为有限的线段
12 2.区间 第一章 函数、连续与极限 数集 及 称为半开区间，分别记作 和 (见图1-9 和图1-10）. x a x b x a x b a b, ) (a b, 以上这些区间都称为有限区间，数 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些 区间是长度为有限的线段. b a − 图1-9 图1-10 [a,b) (a,b] a b x a b x
2.区间 第一章函数、连续与极限 此外，对于这样的集合：{xx≥a},{xx>a},{xx≤b},{xr<b},我们吲引进记号 +∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间 或开区间： [a,+oo)={xr≥a} (a,+o)={xr>a} (-oo,b]={xx≤b} (-o,b)={xx<b} b 这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11~1-14所示 [a,+o) (a,+o) (-00,b] (-00,b) 6 图1-11 图1-12 图1-13 图1-14 全体实数的集合R也记作(-∞，+∞)，它也是无限的开区间
13 2.区间 第一章 函数、连续与极限 这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11 ~1-14所示. 图1-11 此外，对于这样的集合： ， ， ， ，我们引进记号 （读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间 或开区间： x x a x x a x x b x x b + − a x x a ,+ = ) (a x x a ,+ = ) (− = ,b x x b (− = ,b x x b ) 图1-12 图1-13 图1-14 全体实数的集合R也记作 (− + , )，它也是无限的开区间. [a,+∞) a b x (a,+∞) (−∞,b] (−∞,b) a x b x b x
3.邻域 第一章函数、连续与极限 设a与6为两个实数， 且6>0，数集{xx-d<δ称为点a的6邻域，记作U(a,6),即 U(a,)={xx-d<δ}，其中a称作U(a,d)的中心，6称作U(a,d)的半径 在数轴上，x-d表示点x与点a的距离，因此点a的6邻域U(a,d)={xx-d<d} 在数轴上就表示与点a距离小于6的点x的全体.由于x-d<6等价于一δ<x-a<δ， 即a-6<x<a+δ，所以 8 U(a,8)={xa-6<x<a+6} a-8 a a+δx 因此，U(a,)也就是开区间(a-δ，a+δ). 图1-15 见图1-15，显然，这个开区间以点为中心，而长度为26
14 3. 邻域 第一章 函数、连续与极限 图1-15 设 a 与 为两个实数， 且 ，数集 称为点 的 邻域， 记作 ，即 U a x x a ( , ) = − ，其中 称作 的中心， 称作 的半径. 0 x x a − a a U a( , ) U a( , ) U a( , ) U a x a x a ( , ) = − + 因此， U a( , ) 也就是开区间 (a a − + , ) . 见图1-15，显然，这个开区间以点a 为中心，而长度为 2. a − a a + x 在数轴上， x a − 表示点 x 与点 a 的距离，因此点 的 邻域 在数轴上就表示与点 距离小于 的点 的全体. a U a x x a ( , ) = − a x 由于 x a − 等价于 − − x a ， 即 a x a − + ，所以
3.邻域 第一章函数、连续与极限 有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点α的δ邻域去掉中心☑后， 称为点a的去心δ邻域，记作U(a,6),即 (a,o)={x0<-a<d} a-δ a a+δx 这里0<x-d就表示x≠a 图1-16 为了方便，有时将开区间(a-6,ad)称为a的左邻域，而将开区间(a,a+d)称为 a的右邻域如果不强调半径，以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记 作U(a
15 3. 邻域 第一章 函数、连续与极限 有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点 的 邻域去掉中心 后， 称为点 的去心 邻域，记作 ，即 a a a ( , ) o U a ( , 0 ) o U a x x a = − 这里 0 −x a 就表示 x a . 为了方便，有时将开区间 称为 的左邻域，而将开区间 称为 的右邻域.如果不强调半径，以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记 作 . (a a −, ) a a (a a, + ) U a( ) a a a- a a + x 图1-16