$2.2解析函数和调和函教的关系-37 :（3）（）=u十一常数，分别对，求偏导数得rhtauattdti=0,110.tax2F3ydrdy由 C-R 方程得rhidnanithu0.0.#axr+Ltaxdyay所以(u+)2yh=0-0.(u?axhy当十一0时=一0，故）一0因而得证cht_du=0,做u一常数，再由（2)知F（z）在D内当十+0时aay为常数82.2解析函数和调和函数的关系2.2.1调和函数的概念平面静电场中的电位函数、无源无旋的平面流速场中的势函数与流函数都是一种特殊的二元实函数，即所谓调和函数，它们都与某种解析函数有着密切的关系.下面给出调和函数的定义定义2.3如果二元实函数g，y)在区域D内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯（Iaplace）方程+=0.粉+则称，y)为区域D内的调和函数，或说函数(x，y)在区域D内调和.定理2.3设函数f(z）=u（r.)→iwx.)在区域D内解析，则f(）的实部u(,y）和虚部(.y）都是区域内的调和函数证因f(）在区域D内解析，所以u，U在D内满足C-R方程
第二章·38*解析函数-一一aa当f（之）解析时4.有任意阶连续偏导数（这一事实本书后面将要指明）在上述二式中分别对与文求偏导数，得子u-&u--duauay2,arayayararu子u因arayyar，于是u净uu + at-=0.ar十ayaraylyer这就是说，(x，y）是区域D内的调和函数，同理，u（αy)也是区域I)内的调和函数。2.2.2共轭调和函数定义2.4设函数g(r,y)及(ry)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程ardyaxthy则称中是中的共轭调和函数显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造一个复变函数是不是解析的？下面的定理（证明从略）回答了这个问题定理2.4复变函数f（z）u(r,y）十iv(r，y)在区域I）内解析的充分必要条件是：在区域D内，f（）的虚部（，y）是实部u（，y）的共钜调和函数根据这个定理，便可利用一个调和函数和它的共轭调和函数作出一个解析函数，82.2.3解析函数与调和函数的关系由于共轭调和函数的这种关系，如果知道了其中的一个，则可根据