第十章第二节对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法两类曲线积分之间的联系三、机动目录上页下页返回结束
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章
对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例：变力沿曲线所作的功LB设一质点受如下变力作用F(x, y) = (P(x, y), Q(x,y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法恒力沿直线所作的功“大化小"F“常代变"W =FABcos0“近似和"0=F.AB·B“取极限”AOU-F下页返回结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 恒力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. = F AB A B F F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
“分割、近似1)“大化小"（分割)求和、取极限'把L分成n个小弧段,F沿Mk-1MkF(Ek,nk)所做的功为△Wk，则BAykW-ZAWkAxkk=1(近似)2)“常代变x有向小弧段Mk-M,用有向线段Mk-1M=（Axk，Ayk）近似代替，在Mk-1Mk上任取一点(,nk),则有AWk~ F(Ek, nk). Mk-IMk= P(Sk, nk)Axk +Q(Sk, Nk)AykeDO目返回结束机动-质
Mk−1 Mk A B x y 1) “大化小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y k k 所做的功为 F 沿 Wk F k M k 1M k ( , ) − k ( , ) F k k = = n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割、近似、 ( 分割.) 求和、取极限” ( 近似.)
3）“近似和"(求和.)W ~E[P(k, nk)Axk +Q(ck, nk)Ayk ]k=14）“取极限W = limZ [P(Ek, nk)4xk +Q(Ek, Nk)4yk]->0k=1F(Ek,nk)(其中为n个小弧段的LB最大长度)AykAxkAX000-E
3) “近似和” 4) “取极限” = n k W 1 k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y = → = n k W 1 0 lim k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (求和.)
2.定义.设L为xoy平面内从A到B的一条有向光滑弧，在L上定义了一个向量函数F(x,y) =(P(x,y), Q(x,y)若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限nZ [P(Ek, nk)Axk+Q(Ek, nk)Ayk]lim1->0k=1记作[ P(x, y)dx+Q(x, y)dy= [,F.d r都存在,则称此极限为函数F(x,y）在有向曲线弧L上或第二类曲线积分.其中,P(x,J)，对坐标的曲线积分，Q(x,y）称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线0000X目录动上市下页返回结束
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, → → + = L L P(x, y)dx Q(x, y)d y F .d r k k k P( , )x k k k + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束