第三节 第九章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第九章
一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为4(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” “分割，近似，求和，取极限” 可得 M=lim∑4(5k,7k,5k)△ →0 k= (5k,7,5k） 下页返回结束
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “分割, 近似, 求和，取极限
定义.设f(x,yz),(x,y,)∈2，若对2作任意分割： △y(k=1,2,n),任意取点(5k,7k,5k)∈△yk, 记各小闭区域△y(k=1,2,.,)的直径中的最大值为见， 若极限 G5,5.4记作 记作 2-→0 ∬。fx,2aw 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分. dv称为体积元素， 在直角坐标系下常写作dxdydz. 引例中密度函数为4(x,y,z)∈C的空间闭区域2内的 物质的质量：M=川。x,)aw
定义. 设 f x y z x y z ( , , ) , ( , , ) , 0 1 lim ( , , ) n k k k k k f v → = 存在, f x y z ( , , ) f x y z v ( , , )d dv 称为体积元素, d d d . x y z 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 若极限 记作 引例中密度函数为 ( , , ) x y z C 的空间闭区域 内的 M x y z v ( , , )d = 物质的质量 ： ( , , , ) , 1 2 k 记各小闭区域 = v k n 的直径中的最大值为
三重积分存在定理 定理 若函数f(x,y,2)在有界闭区域D上连续， 则 (x,y,2)在D上可积. (证明略) 性质：三重积分的性质与二重积分相似. 例如： 中值定理.设f(x,Jy,)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 J∬。fx,yz)dv=f5n,5)y
三重积分存在定理: 若函数 (证明略) 定理. 在 D 上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如: 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 ( , , ) , 使得 f x y z v ( , , )d = f V ( , , ) V 为 的 体积
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1.投影法（先一后二 方法2.截面法(“先二后 三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束