第十章第六节高斯公式通量与散度推广Green 公式Gauss 公式高斯公式一沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动自录上页下页返回结束
第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高斯公式 通量与散度 第十章
公式一、高斯（Gauss）定理1.1设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Z所围成,Z的方向取外侧，函数 P,Q,R在Q上有连续的一阶偏导数，则有、_Pdydz+Qdzdx+RdxdyapaRadxdydz(Gauss公式）OxJOazay下面先证ORJ.RdxdydxdydzAaz0-下页返回结乐
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 , P d y d z + Q d z d x + Rdx d y x y z z R d d d = Rd x d y 下面先证: 面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束
证明: 设Q2:z(x,y)≤z(x,y)≤z2(x,y), (x,J) Dxy为XY型区域,Z=Z,U2 UZ3,Z1 :z= z1(x,y),Z2 : z = z2(x, y),则Z2aRdxdydz= J, dxdy [2(c,)aRoa2dzZ3zi(x,y) Ozxy2Z(R(x, y, z2(x,y))x1VR(x, y, zi(x,y)) fd xd yRdxdy =(Jz,+ JJz,+ J,)Rd xdy福R(x, y, z2(x, y)dxdy - [f, R(x, y, zi(x, y)d xdyxyX0OOO定理1自录返回结束上页下页
2 3 1 z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y : ( , ), 1 1 z = z x y 证明: 设 , = 1 2 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1 = Dx y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y Rd x d y = Dx y ( = 2 x y z z R d d d d x d y + 1 + 3 )Rd x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2 z = z x y 则 R(x, y, )dxdy − Dx y = Dx y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , )) d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
aRJ1o01Rdxdy所以dxdydz=若Q不是XY-型区域，则可引进辅助面将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立apO6.1Pdydzdxdydz=类似可证axJI.dxdydz =ff, Qd zd x中oy三式相加，即得所证Gauss 公式：apaoaRI.OdxdydzaxOzdyPdydz+Qdzdx+ Rdxdy0000X开-
所以 x y z z R d d d = Rd x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d + + = Qd z d x x y z x P d d d = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1.用Gauss 公式计算 _(x-y)dxdy+(y-z)xdydz其中Z 为柱面x2+2=1及平面z=0,z=3所围空间闭域Q的整个边界曲面的外侧解: 这里 P=(y-z)x,Q=0, R=x-利用Gauss 公式,得原式=JJJ。(y-z)dxd ydz (用柱坐标)1(l(psin-z)pdpddz = f" def"pd pf(psino-2) dz9元2思考：若Z改为内侧，结果有何变化？若Z为圆柱侧面(取外侧，如何计算？
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y − z)d x d y d z = − ( sin z) d d d z (用柱坐标) d d ( sin z) dz 3 0 1 0 2 0 = − 2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?