《高等数学》课程教学资源（PPT课件）Ⅱ_D11_7斯托克斯公式

第七节 第十章 斯花克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式 *二、 空间曲线积分与路径无关的条件 三、 环流量与旋度 *四、向量微分算子 下页返回结束

三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *四、向量微分算子 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十章

一、斯托克斯(Stokes)公式 定理1.设光滑曲面Σ的边界「是分段光滑曲线，Σ的 侧与T的正向符合右手法则，P,Q,R在包含Σ在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数，则有 OP OR Oz Ox dzdx+ dxd y Ox ={Pdx+Qdy+Rdz (斯托克斯公式 证：情形1Σ与平行z轴的直线只交于 一点，设其方程为 Σ：z=f(x,y),(x,y)eDxy 为确定起见，不妨设Σ取上侧（如图） 简介目录上页下页返回结束

  y o z x 一 、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理1. 设光滑曲面  的边界 是分段光滑曲线,  = Pd x + Qd y + Rd z (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 证: 情形1  与平行 z 轴的直线只交于 一点, 设其方程为 Dx y  : z = f (x, y), (x, y) n 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). Dx y C 则有 简介 目录 上页 下页 返回 结束

则Pdx=cPx,(xydx e-儿，是xxR,Ny (利用格林公式 -号1ay -I5+2,l7as cos7=++7cosB=+ fy=- cos B cosy 定理1目录上页下页返回结束

则  Pd x  = C P(x, y,z(x, y))d x P x y z x y x y (利用格林公式) Dx y y ( , , ( , ))d d    = −   x y y z z P y P Dx y d d     +   = −  f  S z P y P y cos d   +   = − cos , 2 2 1 1 x y + f + f   = cos , 2 2 1 x y y f f f + + −  =   cos cos  f y = −   y o z x n Dx y C 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

手Pa=儿罗8 因此 ]cosy dS 0z cosy ap cosy dS ∂z 0y Paxay 同理可证 0ay-0dxdy- dyd- 于-4a: aRdzdx 三式相加，即得斯托克斯公式， 定理1目录上页下页返回结束

因此   S z P y P P x cos d cos cos d      −   = −     S y P z P cos  cos d   −   =  x y y P z x z P d d d d   −   =  同理可证  Qd y y z z Q x y x Q d d d d   −   =   Rd x z x x R y z y R d d d d   −   =  三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

情形2曲面2与平行z轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助线面把Σ分成与z轴只交于一点的几部分 在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相加，由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消，所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕 注意：如果Σ是xoy面上的一块平面区域，则斯托克斯 公式就是格林公式，故格林公式是斯托克斯公式的特例， 定理1目录上页下页返回结束

情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把  分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果  是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束