第九章 多元函数微积分（参考答案) 一、填空题 1.函数z=arcsin+arcsin的定义域为(a>0,b>0)D={x,yl-a≤x≤a,-b≤y≤b}。 h 2.若fx+yx-川=xy+少2，则fx,)=_空 2- 4.lim x 10.设二元函数：=x+y),则正=a Ⅱ.由方程以产+y)=2a心an之确定的隐函数y=f)的号数攻-兴 dx x=t 15.曲线 y=2在点(1,1,1)处的切线方程为_号=号=号，法平面方程为x+2y+32-6=0_。 16.函数 在点 处沿轴正向的方向导数为8一 18.曲面：-+少与平面y=4的交线在x=2处的切线与×轴正向所成角为_票一· 4 20.M(1,-1,2)为曲面z=fx,y)上的一点，1，-1)=2，f1,-=-2,则曲面在点M处的切平面方程 为2X-2y-z-2=0 二、单选题 1.设f(x,y)= +；+少2*0 xy 在点(0,0)处(C) 0 ；x2+y2=0 A.连续，偏导数存在 B.连续，偏导数不存在 C.不连续，偏导数存在 D.不连续，偏导数不存在 5.空间曲线+少+：子=6 在点M(1,一2,1)处的切线一定平行于(D) x+y+2=0 A.xoy面 B.yoz面 C.xoz面 D.平面x+y+z=O 6.设函数：=3”，则等于(D) A.y3 B.3 In3 C.x3-1 D.y3 In3 12.函数f(x,y)在点(xo,y)偏导数存在是f(x,y)在该点连续的(D) A.充分但不是必要条件 B.必要但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也非必要条件 14.设：=fx9,则 =(B) xlso-yo)
第九章 多元函数微积分（参考答案） 一、填空题 1．函数 b y a x z = arcsin + arcsin 的定义域为（a＞0，b＞0）_D = {(𝑥, 𝑦)|−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎, −𝑏 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏}_。 2．若 2 f (x + y, x − y) = xy + y ，则 f (x, y) = _ 𝑥 2−𝑥𝑦 2 _。 4． = → → x xy y x sin lim 2 0 _2_。 10．设二元函数 ln( ) 2 z = x + y ，则 = = = 0 1 y dz x _𝑑𝑥_。 11．由方程 x y ln( x y ) 2arctan 2 2 + = 确定的隐函数 y = f (x) 的导数 = dx dy _ 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 _。 15．曲线 = = = 3 2 z t y t x t 在点（1，1，1）处的切线方程为_ 𝑥−1 1 = 𝑦−1 2 = 𝑧−1 3 _，法平面方程为_𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 − 6 = 0_。 16．函数 在点 处沿 轴正向的方向导数为 8 ． 18．曲面 4 2 2 x y z + = 与平面 y = 4 的交线在 x = 2 处的切线与 x 轴正向所成角为_ 𝜋 4 _。 20． M（1，-1，2）为曲面 z = f (x, y) 上的一点， (1, 1) 2 x f − = ， (1, 1) 2 y f − = − ，则曲面在点 M 处的切平面方程 为 2x-2y-z-2=0 ． 二、单选题 1．设 + = + = + 0 ; 0 ; 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 在点（0，0）处（ C ） A．连续，偏导数存在 B．连续，偏导数不存在 C．不连续，偏导数存在 D．不连续，偏导数不存在 5．空间曲线 + + = + + = 0 6 2 2 2 x y z x y z 在点 M（1，—2，1）处的切线一定平行于（ D ） A．xoy 面 B．yoz 面 C．xoz 面 D．平面 x+y+z=0 6．设函数 xy z = 3 ，则 x z 等于（ D ） A． xy y3 B．3 ln 3 xy C． 1 3 xy− xy D． 3 ln 3 xy y 12．函数 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 偏导数存在是 f (x, y) 在该点连续的（ D ） A．充分但不是必要条件 B．必要但不是充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也非必要条件 14．设 z = f (x, y) ，则 ( , ) 0 0 x y x z =（ B ）
A巴+大-fWB.巴+-园 Ar Cmf+A川-f Ar D. △x x=asin2t 16.空间曲线y=bsm1c0s1在1=处的法平面(B) ==ccos21 A.平行于z轴B.平行于y轴C.平行于xoy面D.垂直于yoz面 三、计算与解答题 1.求二元函数极限： (1) +4-2=4 (m y 四2 n++y)」 (3) 2度=元服：=国求要容品会ae四小容=2刘0o网 3设u加子求器号血，格器高等高血高血忘 。阳强藏功自方想兰-h三0质定来会-房名会-答。 已期：由于x=d,=户，求告解岳s长-鹗)兴a月 解：架=2xy片-兰：华=x21+分 11.求下列函数的二阶偏导数： (1):=y (2)z=m(x2+xy+y2) 亲-w票=皮产0wy-小 dz 2x+y 82z-2x2-2xy+y2 axx2+x+y2iax2(x2+xy+y2)2 02z 02z x2-2xv-2v 折=yr-lax=-inx(nx-1yn2 az x+2y 2++y丽2+列+y 器-器-0m+w 0-z -x-4xy-y 0x成=2+y+y2
A． x f x x y y f x y x + + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 B． x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 C． x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 D． x f x x y x + → ( , ) lim 0 0 0 16．空间曲线 = = = z c t y b t t x a t 2 2 cos sin cos sin 在 4 t = 处的法平面（ B ） A．平行于 z 轴 B．平行于 y 轴 C．平行于 xoy 面 D．垂直于 yoz 面 三、计算与解答题 1．求二元函数极限： （1） ( , ) (0,0) 4 2 lim x y xy → xy + − =1/4 （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 1 cos( ) lim ( ) x y x y x y x y e → − + + =0 （3） ( ) 2 2 ( , ) (0,0) 2 2 ln 1 lim x y x y x y → + + + =1 2．设二元函数 tan( ) 2 z = xy ，求 x z ， y z 。 解： x z =𝑦 2 𝑠𝑒𝑐2(𝑥𝑦 2)， y z = 2𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑐2(𝑥𝑦 2) 3．设 y x u = arctan ，求 x u ， y u ， du 。 解： x u = 𝑦 𝑥 2+𝑦2， y u =− 𝑥 𝑥 2+𝑦2， du = 𝑦 𝑥 2+𝑦2 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑥 2+𝑦2 𝑑𝑦 6．设函数 z = f (x, y) 由方程 − ln = 0 y z z x 所确定，求 y z y x z z − 解： y z y x z z − =0 7．已知 y x z = sin ， t x = e ， 2 y = t ，求 dt dz 。 解： dt dz =cos 𝑥 𝑦 ( 𝑒 𝑡 𝑦 − 2𝑡𝑥 𝑦2 ) = (𝑡−2)𝑒 𝑡 𝑡 3 𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑡 𝑡 2 8．设 z = f (u,v) 而 u x y 2 = ， x y v = ，其中 f (u,v) 可微，求 x z ， y z 解：𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦𝑓1 ′ − 𝑦 𝑥 2 𝑓2 ′ ; 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑥 2𝑓1 ′ + 1 𝑥 𝑓2 ′ 11．求下列函数的二阶偏导数： （1） x z y ln = （2） ln( ) 2 2 z = x + xy + y 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 1 𝑥 𝑦 ln𝑥 ln𝑦; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥 2 = ln𝑦 [ 1 𝑥 2 𝑦 ln𝑥(ln𝑦 − 1)]; 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥 2 = −2𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑦 ln𝑥−1 ln𝑥; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦 2 = ln𝑥(ln𝑥 − 1)𝑦 ln𝑥−2 ; 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑥 + 2𝑦 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ; 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦 2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 2𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑥 = 1 𝑥 𝑦 ln𝑥−1(ln𝑥ln𝑦 + 1). 𝜕 2𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥𝑦 − 𝑦 2 (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2) 2
12.求下列函数的极值与极值点： (1) fx,y)=x3+y3-9xy+27 解传产8000班a=6co=-9=6所 在(0,0)，A=0,B=-9.C=0,AC-B2<0,÷无极值。 在(1,3)，A=18,B=-9,C=18,AC-B2>0,并且A>0有极小值f(3,3)=0 解：u=x+号p=y+ 会是 R-是 时 -是+ 四、应用题 1.欲做一个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现想用36元造一个 容积最大的容器 求其尺寸 解：设长宽高分别为：x,y,2,求容积D=xyz最大，条件：3y+2x江+2y2=36 设L=xyz+1(3xy+2x2+2y2-36) 解 =xv+1(2x+2)=0 解 唯一的极值点就是所求，即长宽高分别为2,2,3 (Ly=3xy+2xz+2yz-36=0 2利用多元函数求楼值的方法。，求点P0-)到直线（约距离。 解：设直线上的一点为(x,y,z),求距离d2=x2+y+1)2+(2-1)2最大，条件y+2=0,x+2z=7 设L=x2++1)2+2-1)2+116y+2)+20x+2z-7刀 Lx=2x+λ2=0 Ly=2y+2+11=0 解 CA1-y z=3 L2=x+22-7=0 4.求函数：=x2+y2-3在条件x-y+1-0下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再用二元函 数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。) 解：设L=x2+y2-3+A(x-y+1) 解 A=2=2,B=2g=0,C=2=2 b=x-y+1=0 (y=· :AC-B2>0,并且A>0有极小值-
12．求下列函数的极值与极值点： （1） ( , ) 9 27 3 3 f x y = x + y − xy + 解：{ 𝑓𝑥 = 3𝑥 2 − 9𝑦 = 0 𝑓𝑦 = 3𝑦 2 − 9𝑥 = 0 得(0,0)(3,3); 𝑓𝑥𝑥 = 6𝑥, 𝑓𝑥𝑦 = −9, 𝑓𝑦𝑦 = 6y; 在(0,0)，𝐴 = 0,𝐵 = −9, 𝐶 = 0,𝐴𝐶 − 𝐵 2 < 0, ∴ 无极值。 在(1,3)，𝐴 = 18,𝐵 = −9, 𝐶 = 18,𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0,并且 A > 0 ∴ 有极小值𝑓(3,3) = 0。 13．设函数 z = z(x, y) 由方程 ( + , + ) = 0 x z y y z F x 确定，求 x z ， y z 解：𝑢 = 𝑥 + 𝑧 𝑦 , 𝑣 = 𝑦 + 𝑧 𝑥 , ∴ ∂z 𝜕𝑥 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑧 = − 𝐹1 ′ − 𝐹2 ′ 𝑧 𝑥 2 𝐹1 ′ 1 𝑦 − 𝐹2 ′ 1 𝑥 = ∂z 𝜕𝑦 = − 𝐹𝑦 𝐹𝑧 = − −𝐹1 ′ 𝑧 𝑦 2 + 𝐹2 ′ 𝐹1 ′ 1 𝑦 − 𝐹2 ′ 1 𝑥 = 四、应用题 1．欲做一个无盖长方体容器，已知底部造价为每平方米 3 元，侧面造价为每平方米 1 元，现想用 36 元造一个 容积最大的容器，求其尺寸。 解：设长宽高分别为：𝑥, 𝑦, 𝑧,求容积𝑣 = 𝑥𝑦𝑧最大，条件：3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 = 36 设L = 𝑥𝑦𝑧 + 𝜆(3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 − 36) 解{ 𝐿𝑥=𝑦𝑧+𝜆(3𝑦+2𝑧)=0 𝐿𝑦=𝑥𝑧+𝜆(3𝑥+2𝑧)=0 𝐿𝑧=𝑥𝑦+𝜆(2𝑥+2𝑦)=0 𝐿𝑦=3𝑥𝑦+2𝑥𝑧+2𝑦𝑧−36=0 解得{ 𝑥 = 2 𝑦 = 2 𝑧 = 3 唯一的极值点就是所求，即长宽高分别为 2,2,3. 2．利用多元函数求极值的方法，求点 P(0,−1,1) 到直线{ 𝑦 + 2 = 0 𝑥 + 2𝑧 = 7 的距离． 解：设直线上的一点为(𝑥, 𝑦, 𝑧),求距离 𝑑 2 = 𝑥 2 + (𝑦 + 1) 2 + (𝑧 − 1) 2最大，条件𝑦 + 2 = 0，𝑥 + 2𝑧 = 7 设L = 𝑥 2 + (𝑦 + 1) 2 + (𝑧 − 1) 2 + 𝜆1 (𝑦 + 2) + 𝜆2 (𝑥 + 2𝑧 − 7) 解{ 𝐿𝑥=2𝑥+𝜆2=0 𝐿𝑦=2𝑦+2+𝜆1=0 𝐿𝑧=2𝑧−2+2𝜆2=0 𝐿𝜆1 =𝑦+2=0 𝐿𝜆2 =𝑥+2𝑧−7=0 解得{ 𝑥 = 1 𝑦 = −2 𝑧 = 3 ， ∴ 𝑑 = √6 4．求函数 3 2 2 z = x + y − 在条件 x − y +1 = 0 下极值。（提示：利用拉格日乘数法求出可能极值点再用二元函 数极值的充分条件加以判断也可化为无条件极值求解。） 解：设L = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3 + 𝜆(𝑥 − 𝑦 + 1) 解{ 𝐿𝑥 = 2𝑥 + 𝜆 = 0 𝐿𝑦 = 2𝑦 − 𝜆 = 0 𝐿𝜆 = 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 得 { 𝑥 = − 1 2 𝑦 = 1 2 . 𝐴 = 𝑧𝑥𝑥 = 2,𝐵 = 𝑧𝑥𝑦 = 0, C = 𝑧 𝑦𝑦 = 2; ∵ 𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0,并且 A > 0 ∴ 有极小值 − 5 2