第十一章第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、 幂级数的运算olelolol
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
函数项级数的概念设un(x)(n=1,2,…)为定义在区间I上的函数,称Eun(x) = ui(x)+ u2(x)+...+un(x)+..n=1为定义在区间I上的函数项级数8对 xoI，若常数项级数un(xo)收敛，称 xo为其收n=敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；若常数项级数乙un（xo）发散，称xo为其发散点，所有n=1发散点的全体称为其发散域
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n = 1, 2, ) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x)，称它为级数的和函数，并写成S(x)=Eun(x)若用S，(x)表示函数项级数前n项的和，即Sn(x) =Eur(x)k=1令余项 rn(x)= S(x)-Sn(x)则在收敛域上有lim Sn(x)= S(x),lim rn(x) = 0n>00no
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束
S例如,等比级数x"=1+x+x2+..+x+...n=0它的收敛域是(-1,1),当xE(-1,1)时，有和函数801≥+n1- xn=0它的发散域是（-80，-1]及[1,+0），或写作|x|≥18x"+x-n又如,级数(x≠0),当x|=1时收敛，nn=0但当0<x1时，limun(x)=80,级数发散;所以级数的收敛域仅为x=1.oog
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1 ] 及 [1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
幂级数及其收敛性8Zan(x-xo)"= ao +ai(x-xo)+a2(x-xo) +形如n=0...+an(x-xo)" +...的函数项级数称为幂级数，其中数列an（n=0,l,)称为幂级数的系数，下面着重讨论 xo=0的情形,即Zanx" = ao +ajx+a2x?+...+ax"n=081x<1 即是此种情形例如，幂级数1-n=0
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束