第五节 第十章 对业标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章
一、有向曲面及曲面元素的投影 双侧曲面 ·曲面分类 曲面分内侧和 单侧曲面 外侧 莫比乌斯带 曲面分左侧和 曲面分上侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 下侧 OoO⊙①⑧
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
•指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向 表示： 方向余弦 cosa cos B cosy 封闭曲面 >0为前侧 >0为右侧>0为上侧 外侧 侧的规定 <0为后侧<0为左侧<0为下侧 内侧 ·设Σ为有向曲面，其面元△S在xoy面上的投影记为 (AS)xy,(AS)的面积为（△o)xy≥0，则规定 (Ao)xy,当cosy>0时 类似可规定 当cosy<0时 当cosy=0时 (AS)(AS) Ooo⊙@⑧
其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 < 0 为后侧 封闭曲面 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, ( ) , xy S S (S) x y = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时 类似可规定 yz zx (S) , (S) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 v=(P(,y,),(x,z,R(x,y,z) 求单位时间流过有向曲面∑的流量Φ.（通量 分析：若流过面积为A的平面区域，平面的单位法向量为 n =(cosa,cos B,cosy) 流速为常向量， 则流量 Φ=Acos0 =Av·n
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . （通量） A 分析: 若流过面积为A 的平面区域, 则流量 平面的单位法向量为 流速为常向量 n v
对一般的有向曲面Σ，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场V=(P(x,y,z),Q(x,y,2),R(x,y,z) 用“分割，近似替代求和，取极限” 进行分析可得Φ=lim∑”·n;AS, →0 i=1 设n=(cosa;,cosB,c0syi),则 2 Φ=1im∑[P(5,n1,5i)cosa+Q(5,7,5i)cosB →01 +R(5,7,5i)C0sY1]AS, =lim∑[P(5,n,5△S,)z+5,ni,5:X△S)zx 2→0 i=1 +R(5i,71,5i)(△S)xy] OaO⊙@☒
对一般的有向曲面 , 用“分割, 近似替代,求和, 取极限” = n i 1 0 lim → = 0 lim → = = n i 1 P i i i i ( , , ) cos R i i i i + ( , , ) cos 0 lim → = = n i 1 Q i i i i + ( , , ) cos i S 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 i n i v i i i v n S (cos , cos , cos ) i i i i 设 n = , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束