第之节 第十一章 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 Ooo⊙@⑧
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章
、 正项级数及其审敛法 00 若4n≥0，则称∑4m为正项级数 n= 定理1.正项级数 ∑4n收敛二部分和序列S n=l (n=1,2,.)有界 证：“>” 若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=1 .un≥0，.部分和数列{Sn}单调递增 又已知{Sn}有界，故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=1 OoO⊙①⑧
一、正项级数及其审敛法 若 0, n u n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（比较审敛法） 设 是两个正项级数， 且有Wn≤ym(n=1,2,.).则 (1①)若级数 ”收敛， 则级数 也收敛； =1 =1 0 ● (2)若级数 ∑发散，则级数 y也发散. 1=1 证： （1)设级数yn收敛于c, 则级数un部分和 Sn=41+42++4n≤y1+V2+.+Vm≤g(n=1,2,.) 由定理1可知，级数 ∑也收敛. n= (2)与(1)等价
定理2 (比较审敛法) 设 且有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 证: 则 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . （1）设级数vn收敛于σ, （2）与（1）等价. 是两个正项级数, 则级数un部分和 由定理 1 可知, 级数 也收敛
0 0 推论设 是两个正项级数，且存在 1=1 1=1 N∈Z,对-切n>N,有4n≤kyn(常数k>0), 则有 0 (1)若级数 收敛， 则级数 也收敛； 0 (2)若级数 ∑.发散， 则级数 ". 也发散
推论 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, ( 常数 k > 0 )
练习1.判别级数的敛散性 1 )之mD四2吻习 a>0) n=1 1+a4 解：(1)：ln(n+l)<n, 1 In(n+1) n n=1 n 发散，故原级数发散 π (2) .sin 3 收敛故原级数收敛 n=1 3n 1 (3)当a>1时，. 1 1+a" 故此时原级数收敛 当0<a<l时，lm， n-1+an =1≠0故此时原级数发散 当“=时，原级数为 故此时原级数发散 OOo⊙@⑧
练习1. 判别级数的敛散性: 解: (1) =1 1 n n 发散 , 故原级数发散 . (2) 故此时原级数收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 =1 3 1 n n 收敛 故原级数收敛 . (3) 故此时原级数发散 . =1 2 1 n 故此时原级数发散