《高等数学》课程教学大纲AII

《高等数学AII》课程教学大纲 一、课程的基本信息 课程名称高等数学AⅡ Advanced Mathematics All 课程编号 L12002 适用专业理工科各专】 课程性质 公共基础课总学时 80学时 学分 5学分 理论学时80学时实验学时0学时实践学时0学时开误学期第2学期 先修误程初等数学 后续课程复变函数与积分变换、线性代数、概率统计 二、课程性质和课程目标 1.课程性质 高等数学课程是高等院校理工科各专业重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性 和完整的运算体系。《高等数学Ⅱ》主要包括空间解析几何、多元函数的微分学、多元函数 的积分学以及级数理论。通过本课程的学习，使学生获得高等数学的基本知识、基本思想方 法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下基础。 2.课程目标 课程目标1正确理解高等数学Ⅱ中空间解析几何相关概念、多元函数的极限 连续、偏导数、全微分、重积分、曲线积分、曲面积分和级数收敛等概念：把握 这些概念的基本结构和隐含在其中的思想方法，并较熟练运用这些概念解决相关 的问题。 课程目标2通过对高等数学Ⅱ相关概念的性质、运算公式和定理的学习，掌握 其证明思路和方法，并学会应用重要原理证明具有一定难度的问题。 课程目标3会求平面、直线、旋转曲面的方程以及空间曲线在坐标面上的投影： 能够熟练运用多元函数的极限、偏导数、重积分和线面积分的运算方法较熟练地 计算相应各类问题；熟练掌握各类常数项级数的判别法，能够求出暴级数的收敛 半径和收敛域，求出暴级数的和函数，并能解决其反问题；能够把周期函数展开 成傅里叶级数。 课程目标4熟练掌握多元函数极值的求法：掌握重积分以及线、面积分体现的 重要方法一元素法，并解决相关的总量问题。 课程目标5通过高等数学Ⅱ中重要概念产生的背景、概念的演变过程中体现出

《高等数学 AII》课程教学大纲 一、课程的基本信息 课程名称 高等数学 AⅡ Advanced Mathematics AII 课程编号 L12002 适用专业 理工科各专业 课程性质 公共基础课 总学时 80 学时 学分 5 学分 理论学时 80 学时 实验学时 0 学时 实践学时 0 学时 开课学期 第 2 学期 先修课程 初等数学 后续课程 复变函数与积分变换、线性代数、概率统计 二、课程性质和课程目标 1．课程性质 高等数学课程是高等院校理工科各专业重要的公共基础课程之一，具有较强的理论性 和完整的运算体系。《高等数学Ⅱ》主要包括空间解析几何、多元函数的微分学、多元函数 的积分学以及级数理论。通过本课程的学习，使学生获得高等数学的基本知识、基本思想方 法和基本的运算能力，为学习后续数学课程及各专业课程打下基础。 2.课程目标 课程目标 1 正确理解高等数学Ⅱ中空间解析几何相关概念、多元函数的极限、 连续、偏导数、全微分、重积分、曲线积分、曲面积分和级数收敛等概念；把握 这些概念的基本结构和隐含在其中的思想方法，并较熟练运用这些概念解决相关 的问题。 课程目标 2 通过对高等数学Ⅱ相关概念的性质、运算公式和定理的学习，掌握 其证明思路和方法，并学会应用重要原理证明具有一定难度的问题。 课程目标 3 会求平面、直线、旋转曲面的方程以及空间曲线在坐标面上的投影； 能够熟练运用多元函数的极限、偏导数、重积分和线面积分的运算方法较熟练地 计算相应各类问题；熟练掌握各类常数项级数的判别法，能够求出幂级数的收敛 半径和收敛域，求出幂级数的和函数，并能解决其反问题；能够把周期函数展开 成傅里叶级数。 课程目标 4 熟练掌握多元函数极值的求法；掌握重积分以及线、面积分体现的 重要方法—元素法，并解决相关的总量问题。 课程目标 5 通过高等数学Ⅱ中重要概念产生的背景、概念的演变过程中体现出

的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的了解，培养学 生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的一般化、统一化的信念和理 性精神。 课程目标6通过对高等数学Ⅱ中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析， 提升学生的人格、道德修养。 三、教学内容与课程目标的对应关系 课程内容教学要求 教学设计 与课程目标 对应关系 时 1向量的督： L正确理解向最 L.数学设计及数兰 课程目标1 16 相量的线性运 的概念，熟练掌握 链议 向量加法及数与 (1)解析几何又表 3.空问直角坐标 问量来积的定义 为坐标几何或笛卡 系。 坛算规律及址坐 儿几何.这是数学发 4.向量线性运算 标表示熟记向量 展史上的一座重园 的坐标表示： 的模、方向角的计 的里程速析几 5.向量的模、方向 算公式，掌握向量 的创立揭示了代 角、投影： 在轴上的投影及 与几何内在的联系 6.向量的数量积 其性质： 为人们研穷几何间 课程目标3 与向量积： 2.掌握向量积和 题或代数间题提供 7平面及方程 数景积的定义和 了有放的研密方法 曲面方程与 运算规律，会用多 解析几何诞生的 间曲线方程的份 量积和向量积 学价值体现在以T 念、平面的点法式 理一些几有问 几个方面： 方程平面的一船 3.熟练掌握平面 开创了近现代数学 方程、两平面的夫 的一般方程点法 的朵河： 式方程以及截 提出了一切问题 课程目标 9.空间直线及其 式方程，会求满园 可以归结为解方稻 方程一间直线的 定条件的平面 问题的“通用数学 的一般方程，空间 方程，堂握点到平 方案，开例了机械化 直线的对称式方 面的距离公式，会 的数学计算方法： 程及参数方程 两 判断两平面之问 提出了将数学伤

的辩证思想、数学思想方法、历史及数学意义、数学观念和态度的了解，培养学 生敢于批判、敢于质疑的勇气，培养学生追求数学的一般化、统一化的信念和理 性精神。 课程目标 6 通过对高等数学Ⅱ中有关概念、原理中人文因素、思政要素的分析， 提升学生的人格、道德修养。 三、教学内容与课程目标的对应关系 序 号 课程内容教学要求 教学设计 与课程目标 对应关系 课 时 1 1.向量的概念； 2.相量的线性运 算； 3.空间直角坐标 系； 4.向量线性运算 的坐标表示； 5.向量的模、方向 角、投影； 6.向量的数量积 与向量积； 7.平面及其方程 —曲面方程与空 间曲线方程的概 念、平面的点法式 方程、平面的一般 方程、两平面的夹 角； 9.空间直线及其 方程—间直线的 的一般方程、空间 直线的对称式方 程及参数方程、两 1.正确理解向量 的概念，熟练掌握 向量加法及数与 向量乘积的定义、 运算规律及其坐 标表示、熟记向量 的模、方向角的计 算公式，掌握向量 在轴上的投影及 其性质； 2.掌握向量积和 数量积的定义和 运算规律，会用数 量积和向量积处 理一些几何问题； 3.熟练掌握平面 的一般方程、点法 式方程以及截距 式方程，会求满足 一定条件的平面 方程，掌握点到平 面的距离公式，会 判断两平面之间 1.教学设计及教学 建议 （1）解析几何又称 为坐标几何或笛卡 儿几何，这是数学发 展史上的一座重要 的里程碑.解析几何 的创立揭示了代数 与几何内在的联系， 为人们研究几何问 题或代数问题提供 了有效的研究方法. 解析几何诞生的科 学价值体现在以下 几个方面： 开创了近现代数学 的先河； 提出了一切问题都 可以归结为解方程 问题的“通用数学” 方案，开创了机械化 的数学计算方法； 提出了将数学作为 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 5 16

直线的夹角，直线的位置关系」 一种方法科学的直 与平而的来角」 4孰结堂握直线 观一演绎法的方法 10.曲面及其方 一般方程、对 ,使科学方法论实 绿程目标 曲面研究的考 式和 参致方程， 现了苹命性的突破： 本问题、旋转曲 求满足一定条件 为微积分诞生的 面、柱面、二次出 的当纬方程合圳 造了必要条件 面： 断两直线及直线 因此在授课过 11.空问曲线及其 与平面之间的 程中，既要穿插有关 方程 空间曲 置关系 解析几何产生的月 的一餐方程、空问 5.熟记特殊曲面 史背景、笛卡尔的生 曲线的参数方程 的方程形式，判 平及篇卡尔解析几 空间曲线在坐标 给定方程代表 何的柏思时程又灵 面上的投影. 述其诞生的价值 求空间曲线 意义 在坐标面上的投 2)明确解析几何 影 体现，出的数形结合 的思想表现在两个 方而：几何问颗的代 数化和代数问题的 几何化. (3)在讲授解析几 间的过程中，由于涉 及到的曲面与曲线 的图形较为复杂，可 以借助于多媒体进 行直观教学 2 1多元函数的定1正确理解多元 1.教学设计及教学 课程目标1 12 义： 函数极限的描球 球议 2,多元函数的 性定义，会求多元 (1)多元函数的徽积 限与连续性； 函数极限，正确 分及其应用无疑是 3.偏导数一多元 解多元函数连 元函数的微积分及其 函数的偏导数的 性的定义，了解多 应用的推广，体现出 定义，多元函数的 元函数在有界闭 从特殊到一般的思 深程目标3 导数与高除 区域上连续的性 棋。知识之间的妹殊 导数的计算： 般的关系从思 2.正确理解多元 方法上往往表现为 函数的会微分的 函数偏导数的定 种类比关系，因此在 定义、几何意义 义及川何意义。会 这一部分内容的教学 会激分的计算 求算体的多元函 过程中，应充分运用 课程目标4 5.多元复合函 数的偏导数及高 类比法 元函数 求导法则： 阶偏导数： 的餐限 连续 导数 6.隐函数的求导 3.正确理解多元 微分的概念去理解多 公式： 函数会省分的周 元函数的极眼、连续 7.方向导数与梯念及其几何意义」 偏导数及全微分的定

直线的夹角、直线 与平面的夹角； 10.曲面及其方程 —曲面研究的基 本问题、旋转曲 面、柱面、二次曲 面； 11.空间曲线及其 方程—空间曲线 的一般方程、空间 曲线的参数方程、 空间曲线在坐标 面上的投影. 的位置关系； 4.熟练掌握直线 的一般方程、对称 式和参数方程，会 求满足一定条件 的直线方程，会判 断两直线及直线 与平面之间的位 置关系； 5.熟记特殊曲面 的方程形式，判断 给定方程代表的 曲面； 6.会求空间曲线 在坐标面上的投 影. 一种方法科学的直 观—演绎法的方法 论，使科学方法论实 现了革命性的突破； 为微积分诞生的创 造了必要条件. 因此在授课过 程中，既要穿插有关 解析几何产生的历 史背景、笛卡尔的生 平及笛卡尔解析几 何的构思过程，又要 阐述其诞生的价值 与意义. （2）明确解析几何 体现出的数形结合 的思想表现在两个 方面：几何问题的代 数化和代数问题的 几何化. （3）在讲授解析几 何的过程中，由于涉 及到的曲面与曲线 的图形较为复杂，可 以借助于多媒体进 行直观教学. 课程目标 6 2 1.多元函数的定 义； 2.多元函数的极 限与连续性； 3.偏导数—多元 函数的偏导数的 定义、多元函数的 偏导数与高阶偏 导数的计算； 4.全微分—多元 函数的全微分的 定义、几何意义、 全微分的计算； 5.多元复合函数 求导法则；； 6.隐函数的求导 公式； 7.方向导数与梯 1.正确理解多元 函数极限的描述 性定义，会求多元 函数极限，正确理 解多元函数连续 性的定义，了解多 元函数在有界闭 区域上连续的性 质； 2.正确理解多元 函数偏导数的定 义及几何意义，会 求具体的多元函 数的偏导数及高 阶偏导数； 3.正确理解多元 函数全微分的概 念及其几何意义， 1.教学设计及教学 建议 （1）多元函数的微积 分及其应用无疑是一 元函数的微积分及其 应用的推广，体现出 从 特 殊 到一 般的 思 想，知识之间的特殊 与一般的关系从思维 方法上往往表现为一 种类比关系，因此在 这一部分内容的教学 过程中，应充分运用 类比法，由一元函数 的极限、连续、导数、 微分的概念去理解多 元函数的极限、连续、 偏导数及全微分的定 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 12

会求多元函数的 义：也可以有一元函课程目标5 多元函数微分 全微分，明确多元 微分学中的法则 法的应用 函数连续，偏导 原 曲线的切线与法 存在、偏导数存在 平而：曲面的切平 且连续、会微分存 理或公式，但是一元 面与法线： 在之问的关系】 函数与多元函数毕 谋程目标6 在白杏最的个数上右 值及其求法 函数的偏导数可 着区另 自变量在 元函数的极值 全微分 量上的变化有时会 最大值与最小值、 5.利用隐函数的 起在性质上的改变」 条件极值-拉格朗 求导公会求由方 正因如此，在学习多 日乘数法 程确定的隐函餐 元函数相关性质时 的导数或偏导数 应注意二者之问的区 筒介方程组的情 别， 如连续与偏导数 形： 的关系、偏导数与会 6会求空问曲线 微分的关系等 的切线与法平面 (2)应注意化归思想 的方程。合求曲 的运用。 的切平面与法线 元函数极限的求 的方程 法、偏导数与高阶偏 7.简介方向导数 导数的计算最终转化 与梯度 为一元函数极限与 元函数是数相应的方 7.熟练掌握多 法与公式：在证明有 函数极值、最大信 关原理、 公式或方法 与品小值的求法 的过程中，注重把多 能铭螺决一些氨 元函数的问题转化为 济领城或工程技 元函数的相应问 术领域的实际间 题，如全微分存在的 必要条件的证明、拉 格朗日乘数法的推导 都体现出化繁为简 化雅为易、化不熟 为熟悉的化归思想 1.二重积分的概1.正确理解二重 1.数字1政计及教字学建 谋程目标1 14 念与性质一二重积分，三重和分的 积分的概念，二重 定义，正确理解二 (1)借助于黄比法由 知合的性质 重积分，三重积分 动形面和的求 二重积分计算 的性质 深讨曲顶柱体的体彩 误程目标 利用直角生 2.熟练掌握运用 的计算方法，即分割 标计算二重积分 直角坐标计算法 近似、求和、取极限 利用极坐标计算及极坐标计算 进而由定积分的定义 二重积分： 重积分的具体步 类比叙述出二重积分 误程目标

度； 8.多元函数微分 法的应用—空间 曲线的切线与法 平面；曲面的切平 面与法线； 9.多元函数的极 值及其求法—多 元函数的极值及 最大值与最小值、 条件极值-拉格朗 日乘数法. 会求多元函数的 全微分，明确多元 函数连续、偏导数 存在、偏导数存在 且连续、全微分存 在之间的关系； 4.会求多元复合 函数的偏导数或 全微分； 5.利用隐函数的 求导公会求由方 程确定的隐函数 的导数或偏导数， 简介方程组的情 形； 6.会求空间曲线 的切线与法平面 的方程，会求曲面 的切平面与法线 的方程 7.简介方向导数 与梯度 7.熟练掌握多元 函数极值、最大值 与最小值的求法， 能够解决一些经 济领域或工程技 术领域的实际问 题 义；也可以有一元函 数微分学中的法则、 原理、公式推测多元 函数的相关法则、原 理或公式，但是一元 函数与多元函数毕竟 在自变量的个数上有 着区别，自变量在数 量上的变化有时会引 起在性质上的改变， 正因如此，在学习多 元函数相关性质时， 应注意二者之间的区 别，如连续与偏导数 的关系、偏导数与全 微分的关系等. （2）应注意化归思想 的运用. 多 元 函 数极 限的 求 法、偏导数与高阶偏 导数的计算最终转化 为一元函数极限与一 元函数导数相应的方 法与公式；在证明有 关原理、公式或方法 的过程中，注重把多 元函数的问题转化为 一 元 函 数的 相应 问 题，如全微分存在的 必要条件的证明、拉 格朗日乘数法的推导 都体现出化繁为简、 化难为易、化不熟悉 为熟悉的化归思想. 课程目标 5 课程目标 6 3 1.二重积分的概 念与性质—二重 积分的概念、二重 积分的性质； 2.二重积分计算 法—利用直角坐 标计算二重积分、 利用极坐标计算 二重积分； 1.正确理解二重 积分、三重积分的 定义，正确理解二 重积分、三重积分 的性质； 2.熟练掌握运用 直角坐标计算法 及极坐标计算二 重积分的具体步 1.教学设计及教学建 议 (1)借助于类比法由 曲边梯形面积的求法 探讨曲顶柱体的体积 的计算方法，即分割、 近似、求和、取极限， 进而由定积分的定义 类比叙述出二重积分 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 14

3.三重积分一三 的定义，再由定积分 重积分的定义三 3孰结解决直角 的几何意义性质分 重积分的计算 坐标系下的两利 别类比推出二重积 三重积分的直角 不同积分次序 的几何意义性质，可 坐标计算法、柱而 二次积分的互化 以直接用二重积分的 坐标+筐注向试 问题以及直角坐 定义与性质类比叙球 误程目标5 面坐标计算法（简 标的二次积分与 三元函数的三重积分 办 坐标的 水彩 的定义与性质： 重积分的应用 分的互化问题； 《2)在二重积分的 (物理应用简介】 4.熟练掌握三面 角坐标计算方法的基 积分的吉角坐标 础上，同样借助于类 计镜法知标而码 比法推导出三重积分 标计算法，简介 的直角坐标计算法 重积分的球面 重积分的柱 标的计算法： 坐标计算法应与直角 4会用重积分 坐标先一后二的计算 空问立体的体利 公式相对出。可以达 和空间曲而的而 到在理解上的更好站 积，简介重积 果 物理学中的应用 1.对弧长的曲线1.正确理解两类 ,教学设计及教学递 8 知分一能一举曲 由线和分与两类 线积分的概念、样 由面积分的船念 (1)借助干类出法 课程目标1 质，第一类曲线 与性质，熟练掌罗 在定积分 重积 分的计算法： 线积分与自面 及三重积分概念基司 2.对坐标的白线 积分的基本计算 上去建构第一类曲线 和分一第一类曲 方法： 积分与第一类曲面面 线积分的都余、性 2.正确理解格材 积分的督余：进而类 质，第二类曲线积 公式的条件与结 出相应的性质： 课程目标 分的计算法， 两 论，并 用格林 从形式上看，可 曲线积分的联系 式解决求出较 以由第二类曲线积分 3.格林公式及其 杂的第二黄曲线 的形式类比推测第一 应用一这林及吉 积分：明确曲线积 类曲面积分的形式 平面上曲线积分 分与路关的 其次，在讲投第二类 误程目标 与路径无关的 条件，解决 元 曲面积分时， 应同样 二元函数的全 数求积问题 运用类比方法借助 微分求积 3.正确理解高斯 于向量在抽上的投 4.对面积的曲面 公式的冬件与结 去理解有向曲面在坐 论，会用高断公式 标而上的投影这 面积分的概念」 辅垫性的工作有利于 质，第 类曲面形 类曲面积分概念 分的计算法： 4.了解斯托克斯公 的建构 保程目标5 5.对坐标的曲面 式 (3)由微和分基本公 积一第二类曲面 式类出格林公式，再

3.三重积分—三 重积分的定义、三 重积分的计算— 三重积分的直角 坐标计算法、柱面 坐标计算法和球 面坐标计算法（简 介）； 5.重积分的应用 （物理应用简介） 骤； 3.熟练解决直角 坐标系下的两种 不同积分次序的 二次积分的互化 问题以及直角坐 标的二次积分与 极坐标的二次积 分的互化问题； 4.熟练掌握三重 积分的直角坐标 计算法和柱面坐 标计算法，简介三 重积分的球面坐 标的计算法； 4.会用重积分球 空间立体的体积 和空间曲面的面 积，简介重积分在 物理学中的应用. 的定义，再由定积分 的几何意义、性质分 别类比推出二重积分 的几何意义性质，可 以直接用二重积分的 定义与性质类比叙述 三元函数的三重积分 的定义与性质； (2)在二重积分的直 角坐标计算方法的基 础上，同样借助于类 比法推导出三重积分 的直角坐标计算法， 至于三重积分的柱面 坐标计算法应与直角 坐标先一后二的计算 公式相对比，可以达 到在理解上的更好效 果. 课程目标 5 4 1.对弧长的曲线 积分—第一类曲 线积分的概念、性 质，第一类曲线积 分的计算法； 2.对坐标的曲线 积分—第二类曲 线积分的概念、性 质，第二类曲线积 分的计算法，两类 曲线积分的联系； 3.格林公式及其 应用—格林公式、 平面上曲线积分 与路径无关的条 件、二元函数的全 微分求积 4.对面积的曲面 积分—第一类曲 面积分的概念、性 质，第一类曲面积 分的计算法； 5.对坐标的曲面 积—第二类曲面 1.正确理解两类 曲线积分 与两类 曲面积分 的概念 与性质，熟练掌握 曲线积分 与曲面 积分的基 本计算 方法； 2.正确理解格林 公式的条件与结 论，并运用格林公 式解决求出较复 杂的第二类曲线 积分；明确曲线积 分与路径无关的 条件，解决二元函 数求积问题. 3.正确理解高斯 公式的条件与结 论，会用高斯公式 5 求出较复杂的 第二类曲面积分. 4.了解斯 托克斯公 式 1.教学设计及教学建 议 （1）借助于类比法， 在定积分、二重积分 及三重积分概念基础 上去建构第一类曲线 积分与第一类曲面面 积分的概念；进而类 比出相应的性质； （2）从形式上看，可 以由第二类曲线积分 的形式类比推测第二 类曲面积分的形式； 其次，在讲授第二类 曲面积分时，应同样 运用类比方法 借助 于向量在轴上的投影 去理解有向曲面在坐 标面上的投影，这些 铺垫性的工作有利于 第二类曲面积分概念 的建构. （3）由微积分基本公 式类比格林公式，再 课程目标 1 课程目标 3 课程目标 4 课程目标 5 8