第三节 第十章 三重积分 三重积分的概念 二、三重积分的计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分 第十章
一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为4(x,y,z)∈C,求分布在2内的物质的 质量M. 解决方法：类似二重积分解决问题的思想采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim∑A(5,7k,5)Av △V为 2→0 k=1 (5k,7k,5) HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束
一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 k k k k ( , , )v ( , , ) k k k k v 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, (x, y,z)C, 求分布在 内的物质的 可得 = n k 1 0 lim → M = “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义.设f(x,y,2),(x,y,z)∈2，若对2作任意分割 △yk(k=1,2,.,n),任意取点(5k,刀k,5)∈△V%,下列 积和式” 极限 “乘 2/Ea-ma.y-过n 2 2-→0 k=1 存在，则称此极限为函数f(x,y,2)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似，例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 f)dv=f(5.n5)v HIGH EDUCATION PRESS D0C⊙8 机动目录上页下页返回结束
定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k f v → = lim ( , , ) 1 0 存在, f (x, y,z) f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 “乘 中值定理. 在有界闭域 上连续, 则存在 (,, ), 使得 f (x, y,z)d v = f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法 方法1.投影法（先一后二”） 方法2.截面法（先二后一”）》 方法3.三次积分法 最后，推广到一般可积函数的积分计算 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z) 0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法1.投影法（先一后二”） Q6):s, z=22(x,y) (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 uxd Z= ☑i(xy） 该物体的质量为 fdv d-)dxdy 微元线密度 记作「 f(x,y,=)dxdy na f(x,y,z)d正 HIGH EDUCATION PRESS 0C08 机动目录上页下页返回结束
z x y D = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后二” ) x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1 该物体的质量为 f (x, y,z)d v ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束