第八章空间解析几何与向量代数（参考答案） 一、填空题 2.已知点M(-3,4,5),则点M到原点的距离为_5v2_,点M到y轴距离为V34_ 点M到yoz平面距离为3。 3.已知向量a与×轴，y轴，z轴正向夹角依次为a,B,y,且a=45°，B=60°。 则y= 4.设a=i+3j-2k,6=2i+6j+k且a与b垂直，则L=_10 9.过点M,(a,0,0),M2(0,b,0),M(0,0,c)的平面方程为_三+三+三=1一-· B与已知直线：号：分号善直，且过点M2-可的面的方程为3 3 2 2y-z-13=0 16.设平面x+ky-2:-9与平面2x+4y+3z-3垂直，则k_1 17.己知球面方程为x2+y2+2-2x+2y+4z+2=0,则球心坐标为1,1，-2)半 径为2 18.方程x2+y2=1在平面直角坐标系中表示的曲线是_圆一，在空间直角坐标系中表 示的曲面是母线平行于2轴的圆柱面一。 20. 仁0空州直际+转标出 25.已知曲线：2+：=1 则曲线L绕z轴旋转一周所生成的曲面方程为 x=0 2x2+y2)+z=1 二、单选题： 29.设a=(-112),6=(2,0.1),则向量a与6的夹角为(D) A.0 31.点M(4,-3.5)到x轴的距离d-(B) A.42+-3)2+52B.-32+5c.42+-32D.V42+5 县设有直战疗-子弓则技在线必定(A） A.过原点且垂直于x轴 B.过原点且平行于x轴
第八章 空间解析几何与向量代数（参考答案） 一、填空题 2．已知点 M (−3,4,5) ，则点M到原点的距离为_5√2_ ，点M到y轴距离为_√34_， 点 M 到 yoz 平面距离为_3_。 3．已知向量 a 与 x 轴，y 轴，z 轴正向夹角依次为α，β， ，且α=45°，β=60°， 则 =_ 𝜋 3 _。 4．设 a = i + 3 j − 2k ，b = 2i + 6 j + Lk 且 a 与 b 垂直，则 L=_10_. 9．过点 ( ,0,0) M1 a ， (0, ,0) M2 b ， (0,0, ) 3 M c 的平面方程为_ 𝑥 𝑎 + 𝑥 𝑏 + 𝑥 𝑐 = 1_。 13．与已知直线 L： 2 1 1 3 1 − = − = x + y z 垂直，且过点 M (2,1,−5) 的平面 的方程为_3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 13 = 0_。 16．设平面 x + ky − 2z = 9 与平面 2x + 4y + 3z = 3 垂直，则 k=_1_。 17．已知球面方程为 2 2 4 2 0 2 2 2 x + y + z − x + y + z + = ，则球心坐标为_(1,-1,-2)_,半 径为_2_. 18．方程 1 2 2 x + y = 在平面直角坐标系中表示的曲线是_圆_，在空间直角坐标系中表 示的曲面是_母线平行于 z 轴的圆柱面_。 20． = = 0 0 y x 在空间直角坐标系中表示_z 轴_。 25．已知曲线 L： = + = 0 2 1 2 x y z ，则曲线 L 绕 z 轴旋转一周所生成的曲面方程为 _2(𝑥 2 + 𝑦 2)+ 𝑧 = 1_。 二、单选题： 29．设 a = (−1,1.2)，b = (2,0.1) ，则向量 a 与 b 的夹角为（ D ） A．0 B． 6 C． 4 D． 2 31．点 M (4,−3.5) 到 x 轴的距离 d =（ B ） A． 2 2 2 4 + (−3) + 5 B． 2 2 (−3) + 5 C． 2 2 4 + (−3) D． 2 2 4 + 5 33．设有直线 0 4 − 3 = = x y z ，则该在线必定（ A ） A．过原点且垂直于 x 轴 B．过原点且平行于 x 轴
C.不过原点但垂直于x轴D.不过原点且不平行于x轴 34.在空间直角坐标系中，方程x2-40y-1)2=0表示(4) A.两个平面 B.双曲柱面c.椭圆柱面 D.圆柱面 36.直线二2-+3-：4与平面3x-y+2:=4的关系是(c) 1 A.平行B.既不平行也不垂直C.垂直 D.直线在平面上 45.平面Ax++C:+D=0过x轴，则(A) A.A=D=0B.B=0且C≠0C.B≠0且C=0D.B=C=0 学中你方(。） 1 -21 A 0.月 三、解答与计算： 1.设两点A,2,3),B(0,-1,1),求：(1)向量AB:(2)AE:(3)OA:(4)与AB 同方向的单位向量AB:(5)AB在各坐标轴上投影：(6)AB的方向余弦。 解：(1)A丽=(-1，-3，-2)： 2)|=14； (3)O列=4： 4AB0=(-1,-3,-2) 5)在×轴上-1，在y轴上：3，在z轴上2： (6(c0sa,cosf,cos)=六(-1，-3，-2) 3.求垂直于向量a=(2,2,1)与向量b=(45,3)的单位向量。 解：设1,1i,=a×6-12,2,不=2(1，-2,2) 4.求以A,2,3)、B3,4,5)和C2,4,7)为顶点的△ABc的面积。 解：SAABC=AC×A=V4 8.己知点4AL,-1,2),B(-2,0,3)及M(2,1-)三点，求过点M且与AB连线垂直的平 面方程。 解：元=(-3,1,1)，平面方程：-3(x-2)+0y-1)+(z+1)=0,即3x-y-z=6 10.已知平面π：x+2y-:+3=0,求过点(1,2,3)且与平面垂直的直线方程。 解：直线：号=号- 之求过点M,2且平行于直线儿的直线方程，共中：2仁0了
C．不过原点但垂直于 x 轴 D．不过原点且不平行于 x 轴 34．在空间直角坐标系中，方程 4( 1) 0 2 2 x − y − = 表示（ A ） A．两个平面 B．双曲柱面 C．椭圆柱面 D．圆柱面 36．直线 2 4 1 3 3 2 − = − + = x − y z 与平面 3x − y + 2z = 4 的关系是（ C ） A．平行 B．既不平行也不垂直 C．垂直 D．直线在平面上 45．平面 Ax + By + Cz + D = 0 过 x 轴，则（ A ） A． A = D = 0 B． B = 0 且 C 0 C． B 0 且 C = 0 D． B = C = 0 48．直线 1 5 2 5 1 1 + = − − = x − y z 与直线 + = − = 2 3 6 y z x y 的交角为（ C ） A． 6 B． 4 C． 3 D． 2 三、解答与计算： 1．设两点 A(1,2,3)，B(0, 1,1 − ) ，求：（1）向量 AB ；（2） AB ；（3） OA ；（4）与 AB 同方向的单位向量 AB ；（5） AB 在各坐标轴上投影；（6） AB 的方向余弦。 解 ：（ 1 ） 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (−1, −3, −2) ; (2) |𝐴𝐵⃗⃗⃗ | = √14 ; (3) |𝑂𝐴⃗⃗⃗ | = √14 ; (4) 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⃗0 = 1 √14 (−1, −3, −2); (5)在 x 轴上:-1, 在 y 轴上:-3, 在 z 轴上:-2; (6) (𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾) = 1 √14 (−1, −3, −2) 3．求垂直于向量 a = (2,2,1) 与向量 b = (4,5,3) 的单位向量。 解：设𝑐 ⊥ 𝑎 , 𝑐 ⊥ 𝑏⃗ , ∴ 𝑐 = 𝑎 × 𝑏⃗ =(1,-2,2), 𝑐⃗ 0 = 1 3 (1,−2,2) . 4．求以 A(1,2,3)、 B(3,4,5) 和 C(2,4,7) 为顶点的△ABC 的面积。 解：𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 |𝐴𝐶⃗⃗ × 𝐴𝐵⃗⃗⃗ | = √14 8．已知点 A(1,−1,2) ， B(−2,0,3) 及 M (2,1,−1) 三点，求过点 M 且与 AB 连线垂直的平 面方程。 解：𝑛⃗ = (−3,1,1), 平面方程：−3(𝑥 − 2) + (𝑦 − 1) + (𝑧 + 1) = 0，即3𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 6 10．已知平面 ：x + 2y − z + 3 = 0 ，求过点（1，2，3）且与平面π垂直的直线方程。 解：直线：𝑥−1 1 = 𝑦−2 2 = 𝑧−3 −1 12．求过点 ( 1,2,1) M0 − 且平行于直线 L 的直线方程，其中 L： + − + = + − − = 2 1 0 2 1 0 x y z x y z
归？ 任1所球直线学=号兴 13.判定各组平面之间的关系： (2)π1：x-y+2z=1:π2：3x+y-:=2垂直 14.判定各组直线之间的关系： 2 平行 2-4 15.判定各组平面与直线之间的位置关系： aL受=号-号和：4x-2-2=3衔 3 3)L言支=号和：3x-2y47:-8垂直 18.求过两点4(-2,1,3)和B(-1,-2,-3)直线的标准式方程和参数式方程。 解：标准式：牛=好=华，参数式： 19.求直线+3=+2=与平面x+2y+2:=6的交点.解30,24：12) 3-21 27.求由曲面z=2(x2+y2)与曲面：=1-√x2+y2所围立体在xoy面上的投影。 解：投影为：x2+y2≤，z=0
解：𝑠 = | 𝑖 𝑗 𝑘⃗ 1 1 −2 1 2 −1 |=(3,-1,1), 所求直线：𝑥+1 3 = 𝑦−2 −1 = 𝑧−1 1 13．判定各组平面之间的关系： （2） 1： x − y + 2z = 1 ； 2 ：3x + y − z = 2 垂直 14．判定各组直线之间的关系： （1）L1： 2 2 1 1 1 1 − = − + = x − y z L2： 4 1 2 2 2 1 − − = + = − x + y z 平行 15．判定各组平面与直线之间的位置关系： （1）L： 3 3 7 2 2 2 − = − + = − x − y z 和π： 4x − 2y − 2z = 3 平行 （3）L： 3 2 7 x y z = − = 和π： 3x − 2y + 7z = 8 垂直 18．求过两点 A(−2,1,3) 和 B(−1,−2,−3) 直线的标准式方程和参数式方程。 解：标准式：𝑥+1 1 = 𝑦+2 −3 = 𝑧+3 −6 ，参数式： 19．求直线 1 1 2 2 3 3 − = − + = x + y z 与平面 x + 2y + 2z = 6 的交点。解 (30,-24,12) 27．求由曲面 2( ) 2 2 z = x + y 与曲面 2 2 z = 1− x + y 所围立体在 xoy 面上的投影。 解：投影为：𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1 4 ，𝑧 = 0