第十一章曲线积分与曲面积分练习题 一、填空题 1、曲线积分f(x2+y2),其中是圆心在原点，半径为a的圆周， 则积分值= 2、曲线积分1=手本+其中为椭圆4+y广=，并取正向，则1 4x2+y2 3、曲线积分I=(2 rcoSy+-ysinx))-(x2siny+cosx),其中AB为位于 第一象限中的圆弧x2+y2=1:41,0),B(0,1).则：1=。 4、设函数P(x,y,Q(x,)在单连通域D上具有一阶连续偏导数，则曲线积分 厂Pt+Q在D内与路径无关的充要条件为 5、曲线积分[)d的值是 一其中是折线y=1-1-x(0≤x≤2) 6、设c为圆x2+y2=1上第一象限部分，则曲线积分[(2x+y)达=_ 7、设c为圆2+y2=l,则曲线积分f(x2+y2+1)d= 8、设L为由点42,12)到原点00,0,0的直线段，则曲线积分：[，(x+y+}d= 9、设曲线c+川=1，则曲线积分(+y= 10、若d=(2x-y)+(2y-x),则x,y) 「x=31 11、空间曲线{y=32从00,0,0)到(3,3,2的弧长- =3r2 12、曲线积分∫(x3+2xy)+(x2-2y)的值为」 13、已知曲线积分[[ecosy+fx+(x-e'siny)与路径无关，则f(x)= 14、设c为取正向的圆周x+广=4则曲线积分(-2达+(2+炒=一 15、设)为可微函数，AB为光滑曲线，若曲线积分fx0达-x 与积分路径无关，则函数(x)应满足的关系式为_
1 第十一章 曲线积分与曲面积分练习题 一、填空题 2 2 1 ( ) , l x y ds l a + 、曲线积分 其中 是圆心在原点，半径为 的圆周， 则积分值= 2 2 2 2 2 , 4 1 4 l ydx xdy I l x y x y − + = + = + 、曲线积分 其中 为椭圆 ，并取正向，则I = 2 3 (2 cos sin ) ( sin cos ) , AB x y y x dx x y x dy AB + − + 、曲线积分 I= 其中 为位于 2 2 第一象限中的圆弧x y A B I + = = 1: (1,0), (0,1),则： 4 ( , ), ( , ) 、设函数P x y Q x y D 在单连通域 上具有一阶连续偏导数，则曲线积分 l Pdx Qdy D + 在 内与路径无关的充要条件为 5 l yds 、曲线积分 的值是 其中l y x x 是折线 = − − 1 1 (0 2) 2 2 6 1 (2 ) c c x y x y ds + = + = 、设 为圆 上第一象限部分，则曲线积分 2 2 2 2 7 1 ( 1) c x y x y ds + = + + = c 、设 为圆 ，则曲线积分 2 8 (2,1,2) (0,0,0) ( ) L L A O x y z ds + + = 、设 为由点 到原点 的直线段，则曲线积分： 9 1, ( ) c c x y x y ds + = + = 、设曲线 为 则曲线积分 10 (2 ) (2 ) , ( , ) 、若du x y dx y x dy u x y = − + − = 则 2 3 3 11 3 (0,0,0) (3,3,2) 3 x t y t O z t = = = = 、空间曲线 从 到 的弧长 (1,1) 3 2 4 (0,0) 12 ( 2 ) ( 2 ) x xy dx x y dy + + − 、曲线积分 的值为 3 13 [ cos ( )] ( sin ) ( ) x x c e y yf x dx x e y dy f x + + − = 、已知曲线积分 与路径无关，则 2 2 2 1 14 4 ( 2 ) ( ) 2 c c x y xy y dx x y dy + = − + + = 、设 为取正向的圆周 ，则曲线积分 15 ( ) ( )( ) AB f x AB f x ydx xdy − 、设 为可微函数， 为光滑曲线，若曲线积分 与积分路径无关，则函数f x( )应满足的关系式为
16、设F(x,y)为可微函数，则曲线积分[F(x,y+x)与路径无关的 充要条件是 几、设化在手+y≤止具有连续的二阶偏号数，L是椭圆子+y产=1 顺时针方向的曲线，则[-3y+(x,y小依+∫(x,)=】 二、计算题： 小、计-空亭中e为统=m=m0≤1的段。 2、计算曲线积分1=∫xVR+y在+x+V2+y),其中c是从4,0)沿 曲线y=lnx到B(e,l)的一段。 3、计算曲线积分[(xe+3x2y)+(x2+siny)dy,其中1是沿曲线y=x2-1从点 A-1,0)到点B(2,3的一段弧。 4、求1=∫x2+2xy2)+(2x2y-y),其中为从点4A0,1)沿圆r2+0y-2}2=1 的四分之一弧到点BL,2)的一段曲线。 5、计算曲线积分∫√+y杰+y+ln(x+V2+y2),其中是由点B(π+L,0O) 沿曲线y=sin(x-1)到点4(1,0)的一段弧。 6、计算曲线积分[0y+3x)本+(3x2-y2sin√D)d,其中为曲线y=x2上由 A(-1,1)点到BL,)点的一段弧。 7、设是y=x2与y=1所围平面区域D的正向边界，计算曲线积分： +++x 8、计算(x2+1-e'sinx)-e'cosxdx,其中为半圆x=V-y上由40，-l) 到B(0,1)的一段弧。 9验证晋在+广-3小是某个函数红，的全微分，并求出这个函数。 10、设4B为连接点4(0,1)，B1,2)的某一位于直线段AB之上的光滑曲线，又设 AB与AB所围图形的面积为k,式计算曲线积分。y-本+
2 16 ( , ) ( , )( ) AB F x y F x y ydx xdy + 、设 为可微函数，则曲线积分 与路径无关的 充要条件是 2 2 2 2 17 ( , ) 1 1 4 4 x x 、设f x y y L y 在 + + = 上具有连续的二阶偏导数， 是椭圆 [ 3 ( , )] ( , ) x y L − + + = y f x y dx f x y dy 顺时针方向的曲线，则 二、计算题： 3 3 2 2 , cos , sin (0 ) c 2 ydx xdy I c x t y t t x y − = = = + 1、计算 其中 为曲线 的一段。 2 2 2 2 2 ( ) , (1,0) ln ( ,1) c I x x y dx y x x y dy c A y x B e = + + + + = 、计算曲线积分 其中 是从 沿 曲线 到 的一段。 2 3 2 3 ( 3 ) ( sin ) , 1 ( 1,0) (2,3) x l xe x y dx x y dy l y x A B + + + = − − 、计算曲线积分 其中 是沿曲线 从点 到点 的一段弧。 2 2 2 3 2 2 4 ( 2 ) (2 ) , (0,1) ( 2) 1 (1,2) l I x xy dx x y y dy l A x y B = + + − + − = 、求 其中 为从点 沿圆 的四分之一弧到点 的一段曲线。 2 2 2 2 5 [ ln( )] , ( 1,0) sin( 1) (1,0) l x y dx y xy x x y dy l B y x A + + + + + + = − 、计算曲线积分 其中 是由点 沿曲线 到点 的一段弧。 2 2 2 2 6 ( 3 ) (3 sin ) , ( 1,1) (1,1) l y x dx x y y dy l y x A B + + − = − 、计算曲线积分 其中 为曲线 上由 点到 点的一段弧。 2 3 3 2 4 2 7 1 ( ) ( ) l l y x y D xy x y dx x x y dy = = + + + 、设 是由 与 所围平面区域 的正向边界，计算曲线积分： 。 2 2 8 ( 1 sin ) cos , 1 (0, 1) (0,1) y y l x e x dy e xdx l x y A B + − − = − − 、计算 其中 为半圆 上由 到 的一段弧。 2 2 3 4 2 3 9 ( , ) x y x dx dy u x y y y − 、验证 + 是某个函数 的全微分，并求出这个函数。 2 10 (0,1), (1,2) 1 , ( ) AB AB A B AB x AB AB k y dx dy y y − + 、设 为连接点 的某一位于直线段 之上的光滑曲线，又设 与 所围图形的面积为 式计算曲线积分：
11、设函数Q(x,y)在xO平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 J2k+0x与路径无关，并且对任意恒有20+0x炒 =2+Qx,求函数Qx 12、设曲线积分[F(x,yk+xd)与积分路径无关，且方程F(x,y)=0 所确定的隐函数的图形过点(L,2,其中F(x,y)是可微函数，求F(x,y)=0 所确定的曲线。 13、设Σ是球面x2+y2+2=R2,则求曲面积分川(x2+y2+2)ds. 14、计算曲面积分∬：d,其中∑为锥面：=√+y尸在柱面x2+y2≤2内部分。 15、计算曲面积分川x2d小d+x2dd本+x2:dd, 其中∑为柱体0≤：≤6，x2+y2≤a的边界外表面。 16、设Q由锥面：=√+y与半球面：=√R2-x2-y围成的空间区域，Σ是2的整个 边界外侧，求乎xddt+止dk+zd 17、计算曲面积分「(2x+)止+drd,其中S为有向曲面：=x2+y2(0≤：≤1)， 其法向量与轴正向的夹角为锐角。 18、计算曲面积分1=川：dt+td+d, 其中s为曲面：=10-x2-y2(1≤：≤10)的上侧。 答案： 一、填空题： 02dar6)-2号-器5o34:25o45 a0r2-w+r+c05127133x48x05+2f=0 20 16)xF-yF=0(17)-6π 二计算题： 0-号22+e+月8e+2+25-os3日g号- (O号(708)9(9m-+1a0k+1a0x=P+2y-1
3 ( ,1) (0,0) (1, ) (0,0) 11 ( , ) 2 ( . ) 2 ( . ) 2 ( . ) , ( , ) t c t Q x y xoy xydx Q x y dy t xydx Q x y dy xydx Q x y dy Q x y + + = + 、设函数 在 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，并且对任意 恒有 求函数 。 12 ( , )( ) ( , ) 0 (1,2) ( , ) ( , ) 0 l F x y ydx xdy F x y F x y F x y + = = 、设曲线积分 与积分路径无关，且方程 所确定的隐函数的图形过点 ，其中 是可微函数，求 所确定的曲线。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 13 , ( ) 14 , 2 , 0 , x y z R x y z ds zds z x y x y x x dydz x ydzdx x zdxdy z b x y a z x y z R x y xdy + + = + + = + + + + + = + = − − 、设 是球面 则求曲面积分 。 、计算曲面积分 其中 为锥面 在柱面 内部分。 15、计算曲面积分 其中 为柱体 的边界外表面。 16、设 由锥面 与半球面 围成的空间区域， 是 的整个 边界外侧，求 2 2 17 (2 ) , (0 1) S dz ydzdx zdxdy x z dydz zdxdy S z x y z z + + + + = + 。 、计算曲面积分 其中 为有向曲面 ， 其法向量与 轴正向的夹角为锐角。 2 2 2 18 , 10 (1 10) s I z dydz ydzdx zdxdy s z x y z = + + = − − 、计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧。 答案： 一、填空题： 3 2 2 2 (1)2 (2) (3) 2 (4) (5) 2 (6)3 (7)4 (8)25 (9)4 2 17 (10) (11)5 (12) (13)3 (14)8 (15) '( ) 2 ( ) 0 20 (16) 0 (17) 6 x y P Q a y x x xy y c x xf x f x xF yF − = − + + + = − = − 二计算题： 3 2 2 2 2 2 2 3 1 2 7 4 1 (2) [2 ( 1) ] (3) 25 cos3 (4) (5) 2 3 12 9 2 32 10 1 (6) (7)0 (8) (9) ( , ) 1 (10) 1 (11) ( , ) 2 1 5 3 e e e x u x y k Q x y x y y y − + + + + − − − = − + + = + − （）
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4 4 4 3 32 2 5 (12) 2 13 4 (14) (15) (16)(2 2) (17) (18)9 9 4 2 xy R a b R = − − （ ）