YP(x, y)dx = lim ZP(Ek, nk)Axk 元→0 k=1称为对x的曲线积分[, Q(x, y)dy= lim Zo(Ek, nk)Ayk2→0k=称为对的曲线积分若记dr=(dx，dy)对坐标的曲线积分也可写作(, F.dr = (, P(x, y)dx+O(x, y)dy类似地，若r为空间曲线弧，记ds=(dx,dy,dz)F(x, y,z)= (P(x, y,2), Q(x, y,2), R(x,y,2)LF.ds=|(_ P(x, y, z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz0000
L P(x, y)dx lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k P x L Q(x, y)dy lim ( , ) , 1 0 → = = n k k k k Q y 若 为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 F(x, y,z) = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)) 类似地, d s = (d x , dy , dz) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d (d , d ) r x y = = + d ( , )d ( , )d L L F r P x y x Q x y y
3.性质(1) LL[ αF(x, J)+βF,(x, y)|dr(α,β为常数)=α[, F(x, y)dr + β[, F,(x,y)dr(2) /, F(x,y)dr =, F(x,y)dr + /, F(x,y)dr(L= L, + L2)(3) J_ F(x,J)dr=-I, F(x, J)drL-表示L的反向弧说明：·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向定积分是第二类曲线积分的特例
1 2 (1) ( , ) ( , ) d L F x y F x y r + (α,β 为常数) 1 2 ( , )d ( , )d L L = + F x y r F x y r 3. 性质 1 2 (2) ( , )d ( , )d ( , )d L L L F x y r F x y r F x y r = + 1 2 ( ) L L L = + (3) ( , )d ( , )d L L F x y r F x y r − = − ( L－ 表示 L 的反向弧 ) • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
二.对坐标的曲线积分的计算法定理：设 P(x,J),Q(x,J)在有向光滑弧L上有定义且x=@(t)t:α→β,则曲线积分连续，L的参数方程为y=y(t)存在,且有( P(x, y)dx +Q(x, y)dy= (P[0(t) (0)]0'()+Q[(),V(0)]y(1)dt证明：下面先证f, P(x, y)dx = [" P[p(t), y(t)p'(t)dtO00
二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 = = ( ) ( ) y t x t t : → , 则曲线积分 = P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt = (t) 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
n根据定义[, P(x,y)dx=lim ZP(si, ni)△x2-0设分点x,对应参数ti，点(i,ni)对应参数ti,由于x; = x - Xi-1= β(t)- (ti-1) = @'(t))△ti( P(x, y)dx= lim ZP[β(t,), y(t,)lp'(t)Ati2-0因为L为光滑弧，所以@(t)连续= lim ZP[p(t), y(t,)]p'(t,)ti2-0=1P[p(t), y(t)]p'(t)dt[,o(x, y)dy= [" o[g(t), y(t)] y'(t) d t同理可证0O00目录返回结束-质
设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i 由于 i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1 t t i i = ( )t P[ (t), (t)] dt = → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )] i i ( )t (t) → = = n i i i i P x 1 0 lim ( , ) 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t = (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别是,如果 L的方程为y=(x),x:α→b,则P(x, y)dx +Q(x, y)dy['(P[x, y(x)]+Q[x, y(x)] y'(x))dx( x=Φ(t)=(t)t:α→β,类似有对空间光滑曲线弧I：人z=0(t)_ P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y, z)d zAF[P (P[p(t), y(t), w (t)]p'(t)+Q[(t), y(t), @(t)]y'(t)+ R[p(t), y(t), o(t)]o'(t)fd te000
特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a → b, 则 P x x Q x x x b a [ , ( )] [ , ( )] d = + (x) 对空间光滑曲线弧 : 类似有 = (t) (t) (t) P[ (t), (t), (t)] : , ( ) ( ) ( ) → = = = t z t y t x t 定理 目录 上页 下页 返回 结束