若 lim Sn=S存在，则称无穷级数收敛n8并称S为级数的和，记作8S=unn=1若lim S，不存在，则称无穷级数发散n00当级数收敛时，称差值rn = S- Sn =un+1 +un+2 + ...为级数的余项lim rn = 0显然n→00Oe000x机动目录上页下页返回结束
当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 则称无穷级数收敛 , 并称 S 为级数的和
例1.讨论等比级数（又称几何级数）8Eaq" =a+aq+aq?+...+aq" +... (a*0)n=0（称为公比）的敛散性解：1)若9±1，则部分和a-aqn-lSn =a+aq+aq'+...+aq1-q当|α<1时，由于limq"=0,从而 lim Sn=nαn-8因此级数收敛，其和为a1-q 当|q>1时,由于limq"=o，从而 lim Sn=o0,n-n-8因此级数发散Oeo0x机动自录上页下页返回结束
例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛 , ; 1 q a − 从而 lim = , → n n S 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2).若q=1,则当 q=1时，Sn=naα→oo,因此级数发散;当 q=-1时,级数成为a-a+a-a+..+(-1)n-1)a+:n为奇数a,Sr因此nn为偶数0.从而 lim Sn不存在，因此级数发散n>综合1)、2)可知，9<1时,等比级数收敛;q≥1时,等比级数发散.Oe000x机动自录上页下页返回结束
2). 若 因此级数发散 ; 因此 Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.判别下列级数的敛散性1(I) Zln (1+-)>(2)n(n+1)nn=1n=1解: (1)324n+1S., =ln+ln+ln-In231n(n2 (In1)+(In3 - In2) + + (In(n + 1) - nn=ln(n+l)→o0 (n→>)技巧:利用求“拆项相消”所以级数（1）发散；和O0000?机动目录上页下页返回结束
例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 Sn = ln = (ln 2 − ln1) + (ln3− ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) → (n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++ 机动 目录 上页 下页 返回 结束