§12定积分的概念 分割、近似求和、取极限
§1.2 定积分的概念 分割、近似求和、取极限
定积分的定义 设函数f(x)在a,b上有界用点a=x0 x1x2…xn1xn=b将[a,6分割成n个 子区间,各子区间的长度为△x=x1 i=1,2,,n).在每个子区间上任取一点 (5Ax,作乘积的和式∑f(5)△x 记=mx△x,当0时,∑f()r 的极限存在,并且其极限值与a,b的分法
设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn−1<xn =b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xi−xi−1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i (ixi ),作乘积f(i )xi的和式 = n i i xi f 1 ( ) 定积分的定义 记=max{xi },当→0时, = n i i xi f 1 ( ) 的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以及券取法无关,则该极限值称为函数 fx)在区间a上的定积分记作f(x 积分上限 即 f(xx=似 li ∑f(5)Ax 被积 积分 函表变分元 改达量 素 积分下限」式1a2积分区间
以及i的取法无关,则该极限值称为函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f x dx b a ( ) 即 积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量 [a,b]:积分区间 积 分 元 素 积 分 和 积分上限 积分下限 = → = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )
注意 (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 f( dx= f(txt=f(udu (2)定义中区间的分法和的取法是任意的 (3)当函数x)在区间|a,上的定积分存在 时称f(x)在区间(,b上可积否则不可积
注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关 f x dx b a ( ) f t dt b a = ( ) f u du b a = ( ) (2)定义中区间的分法和i的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
定积分的几何意义 f(x)>0,Jf(x)=S曲边梯形的面积 )<0,,f(xM=-S曲边梯形的面积 的负值 f(rx= s-s,+S,-S
定积分的几何意义 f(x)>0, f x dx S b a = ( ) 曲边梯形的面积 f(x)<0, f x dx S b a = − ( ) 曲边梯形的面积 的负值 x y S1 S2 S3 S4 1 2 3 4 f (x)dx S S S S b a = − + −