§22分部积分法 问题:xed=? 解决思路利用两个函数乘积的求导法则 (uvy'=u'v+uv →lv=(uv)y-u'v →|wvtx=lu-|uw →[wh=uy-「wl分部积分公式
§2.2 分部积分法 问题: = ? xe dx x 解决思路:利用两个函数乘积的求导法则 (uv)=uv+uv uv=(uv)−uv uv dx uv u vdx = − udv uv vdu = − 分部积分公式
例1求积分 x cos xax 解:令=cosx,xdk=1ax2=v 2 2 2 原式 x -cosx+xsin xdx 2 可见,l,v选择不当积分更难进行 解:令u=x, cosxdx= d sinx=lv 原式∫ cd sinx= sinx- fsin xd -xsinx +cosx+C
例1 求积分 x xdx cos 解: 令u=cosx, xdx = dx = dv 2 2 1 原式= xdx x x x + sin 2 cos 2 2 2 可见, u,v选择不当,积分更难进行 解: 令u =x, cosxdx =dsinx =dv 原式= xd sin x x x xdx = sin − sin =xsinx+cosx+C
例2求积分x2ex 解:令u=x2,eh=dev=hv 原式=x2e2-2xe -xex-2l xd e xe-2(xe-e dx =x2ex-2(xek-er)+C =(x2-2x+2)ex+C
例2 求积分 x e dx x 2 解: 令u=x 2 , 原式= e xdx=dex=dv x e xe dx x x − 2 2 x x x e xde = − 2 2 2( ) 2 x e xe e dx x x x = − − =x 2e x−2(xex−e x )+C =(x 2−2x+2)e x+C
例3求积分[ arctan xdx 解:原式 arctan xd2 arctan x d(arctan x) arctan x 2 1+x arctan x 2 d 1+x arctanx-(x-arctan x)+c
例3 求积分 x xdx arctan 解: 原式= 2 arctan 2 x xd (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x + = − 2 2 2 2 1 1 arctan 2 dx x x x + = − − ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 x x x C x = − ( − arctan ) + 2 1 arctan 2 2
例4求积分∫xmxd 解:原式-「mm nx n x xdx 4 x+c 16
例4 求积分 x xdx ln 3 解: 原式= 4 ln 4 x xd dx x x x x = − 1 4 1 ln 4 4 4 x x dx x = − 3 4 4 1 ln 4 = x x − x + C 4 4 16 1 ln 4 1