§2矛盾转化法 换元积分法与分部积分法 §21换元积分法 第一类积分换元法 第二类积分换元法
§2 矛盾转化法 ——换元积分法与分部积分法 §2.1 换元积分法 一、第一类积分换元法 二、第二类积分换元法
第一类换元法 可题:」cosx=simx+C cos 2xdx sin2x+C 解决方法:利用复合函数设置中间变量 令2x→=1d cos 2xdx cos tdt=sint+c =sin2x+c
=sin2x+C 一、第一类换元法 xdx = x +C 问题: cos sin cos2xdx ? 解决方法:利用复合函数,设置中间变量 令t=2x dx dt 2 1 = cos2xdx = costdt 2 1 = sint + C 2 1 = sin2x + C 2 1
在一般情况下: 设F(4)(u)→f(a)=F(a)+C 如果u=q(x)(可微) dFl( x)flo lp(x)dx flo(x)lo(xdx=Fio(x)l+C f(udu 由此可得换元法定理:
在一般情况下: 设F (u)=f(u) f u du = F u +C ( ) ( ) 如果u= (x) (可微) ∵dF[ (x)]=f [ (x)] (x)dx f x x dx = F x +C [( )] ( ) [( )] f (u)du = 由此可得换元法定理:
定理1设fu)具有原函数,l=g(x)可导, 则有换元公式 flo()lp'(x)dx=f(u)du 第一类换元公式(凑微分法) 说明:使用此公式的关键在于将 ∫g(x)dx化为∫(x)(xk
设f(u)具有原函数, u= (x)可导, 则有换元公式 定理1 f[(x)](x)dx = f (u)du 第一类换元公式 (凑微分法) 说明: 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 f[(x)](x)dx
例1求sin2xdx 解:原式=|sin2xd(2x)=-cos2x+C 另解:原式=2」 inx cos 2 sin xd(sin x)=(sinx)2+C 另解2:原式=2 sin x cos xdx -2 cos xd(cos x)=-(cosx)2+C 观察重点不同,所得结论不同
例1 求 xdx sin2 解: 原式= sin2 (2 ) 2 1 xd x = − cos 2x +C 2 1 另解: 原式= x xdx 2 sin cos 2 sin xd(sin x) = =(sinx) 2+C 另解2:原式= x xdx 2 sin cos 2 cos xd(cos x) = − = −(cosx) 2+C 观察重点不同,所得结论不同