§5习题课 1原函数 2不定积分 3换元积分法 4分部积分法 5基本积分公式
§5 习题课 1.原函数 2.不定积分 3.换元积分法 4.分部积分法 5.基本积分公式
原函数的概念 设函数F(x)与fx)在区间/上有定义 若在/上F'(x)=fx),则称函数F(x)为f(x) 在区间上的一个原函数 原函数存在定理: 若函数x)在区间/上连续,则fx)在 上存在原函数F(x) 即:连续函数一定有原函数
原函数的概念 设函数F(x)与f(x)在区间I上有定义. 若在I上F (x)=f(x) ,则称函数F(x)为f(x) 在区间I上的一个原函数 原函数存在定理: 若函数f(x)在区间I上连续,则f(x)在 I上存在原函数F(x) 即: 连续函数一定有原函数
不定积分的定义 fx)在区间上的全体原函数为f(x) 在上的不定积分记作∫fk ∫f(x)x=F(x)+C 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: f(rdx=F(x)+c=f() 函数fx)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线
不定积分的定义 f x dx = F x +C ( ) ( ) f(x)在区间I上的全体原函数为f(x) 在I上的不定积分,记作 f (x)dx 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的 积分曲线 [ f (x)dx] = [F(x)+C] = f (x) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
不定积分的性质 lIf(x)+g(x]dx=l f(xdx+ g(x)dx (2) kf ()dx=k f(x dx (k是常数,k≠0)
不定积分的性质 (1) [ f (x) g(x)]dx = f (x)dx g(x)dx (2) kf (x)dx = k f (x)dx (k是常数, k0)
换元积分法 第一类积分换元法: 设f)具有原函数,u=g(x)可导,则有 flo(x)lo(x)dx=f(u)du 第二类积分换元法 设fx),p(及q(O)均连续,且ρ(O)≠0, 又∫qp(O)存在原函数F(,则 f(xdx= fIo(tlo(t)t= F(t)+C =FIP-(x)1+C
换元积分法 设f(u)具有原函数, u= (x)可导,则有 f[(x)](x)dx = f (u)du 第一类积分换元法: 设f(x), (t)及 (t)均连续, 且 (t)0, 又 f [(t)] (t)存在原函数F(t),则 f x dx = f t t dt = F t +C ( ) [( )] ( ) ( ) 第二类积分换元法: =F[ −1 (x)]+C