§2线性方程组的解法 §21克拉默法则 我们已经知道在一定条件下,二元 (或三元)线性方程组的解可以用二阶 (或三阶)行列式表示出来那么,对于n元 线性方程组能否用n阶行列式来表示?
§2 线性方程组的解法 §2.1 克拉默法则 我们已经知道,在一定条件下,二元 (或三元) 线性方程组的解可以用二阶 (或三阶)行列式表示出来.那么,对于n元 线性方程组能否用n阶行列式来表示?
定理(克拉默法则)如果线性方程组 1x1+1 x,+∴+观1.x 12~2 Inn 21x1+a2x2+…+a2nxn=b2 n1X1+anx++a…x = 的系数行列式 12 D 21 22 2n ≠0 n n2 nn
+ + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 定理(克拉默法则) 如果线性方程组 的系数行列式 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D
那么该线性方程组有且仅有唯一解 D D D 其中D;(=1,2,n)是把系数行列式D中 第j列的元素用方程组右端的常数项替 换后得到的n阶行列式即 h a 1,+1 In b 2,j+1 2n n,j-1 n n,j+1 nn
那么该线性方程组有且仅有唯一解: D D x D D x D D x n = , = , , n = 2 2 1 1 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中 第j列的元素用方程组右端的常数项替 换后得到的n阶行列式. 即 n n j n n j nn j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 , 1 , 1 2 1 2, 1 2 2, 1 2 1 1 1, 1 1 1, 1 1 − + − + − + =
定理中包含三个结论: (1)方程组有解 (2)解是唯一的 (3)解由公式x=(=1,2…,m)给出 注:用克拉默法则解线性方程组必须有 两个前提条件: (1)未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式D=0
定理中包含三个结论: (1)方程组有解 (2)解是唯一的 (3)解由公式 D D x j j = ( j=1,2,...,n)给出 注: 用克拉默法则解线性方程组必须有 两个前提条件: (1)未知数个数等于方程个数 (2)系数行列式D0
,+x 2 5r2+ 4 8 3. 2 6x,=9 例1解线性方程组 2x2-x3+2x4=-5 +4x2-7x2+6x4=0 3 解:方程组的系数行列式 51 D 2/27×0 14-76
例1 解线性方程组 + − + = − + = − − − = + − + = 4 7 6 0 2 2 5 3 6 9 2 5 8 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x 解:方程组的系数行列式 1 4 7 6 0 2 1 2 1 3 0 6 2 1 5 1 − − − − − D = =27 0