(f(x×有当a功时才有意义为了 5定积分的性质 使用上的方便规定 )当a=b时,[f(x)x=0 ()当时,f(x)=f(x 说明:在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
§1.5 定积分的性质 只有当a<b时才有意义,为了 使用上的方便,规定 (1)当a=b时, ( ) = 0 f x dx b a (2)当a>b时, f x dx f x dx a b b a ( ) = − ( ) f x dx b a ( ) 说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
性质1[6(xkx=kf(xkd(k为常数) 性质2 I∫(x)±g(x)k=f(x)g(x)b 性质3(对积分区间的可加性) CA(ydx= f(xxx+rf(xdx 性质4x=b-a 性质5若在[a,(a<b)上fx)≥0,则 ∫∫(xn≥0
kf x dx k f x dx b a b a ( ) = ( ) (k为常数) f x g x dx f x dx g x dx b a b a b a [ ( ) ( )] = ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx b c c a b a ( ) = ( ) + ( ) 性质3(对积分区间的可加性) 性质2 性质1 ( ) 0 f x dx b a 性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则 dx b a b a = − 性质 4
性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则 f(x xs g(xddx 性质7(定积分的绝对值不等式) Jf(x)川f(x)x(a<b -f(x)≤f(x)≤1f(x) lf()kxs f(xydxslf(x)kx
f x dx g x dx b a b a ( ) ( ) 性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则 | f (x)dx | | f (x)|dx (a b) b a b a 性质7(定积分的绝对值不等式) ∵−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)| f x dx f x dx f x dx b a b a b a − | ( )| ( ) | ( )|
性质8(有界性)设m,M分别是f(x)在,b 上的最小值和最大值,则 m(b-asf(dksM(b-a) 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质9(积分中值定理)若函数x)在{a,b 上连续,则在[a,b上至少存在一点使得 f(x)kx=∫()(b-a) 积分中值公式
m(b a) f (x)dx M(b a) b a − − 性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则 此性质可用于估计积分值的大致范围 f (x)dx f ( )(b a) b a = − 性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得 ——积分中值公式
积分中值定理的几何意义 b f(5)= x vax b 若fx)在[a,b上连续 f(2) 且非负,则f(x)在[a,b 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 a2bx底以(引为高的矩形 面积
y o a x b 积分中值定理的几何意义 f() 若f(x)在[a,b]上连续 且非负,则f(x)在[a, b] 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 底,以f( )为高的矩形 面积 f x dx b a f b − a = ( ) 1 ( )