华师大数学分析（第五版）讲义第三章函数极限S2函数极限的性质定理1（唯一性）若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的.定理2（局部有界性）若limf(x)存在，则f在x的某空心邻域U（x）内有界.定理3（局部保号性）若limf(x)=A>0，则对任何正数r<A，存在某U°（x）使得对一切xeU（x），有f(x)>r>0【注】在以后应用局部保号性时，常取r=号.2设limf(x)与都limg(x)都存在，且在某邻域U(xo,8)上有定理4（保不等式性）f(x)≤g(g),则lim (x)≤ lim g(x)定理5（迫敛性）设limf(x)=limg(x)=A，且在某U(xo,8)上有J(x)≤ h(x)≤g()则 lim h(x)= A.定理6（四则运算法则）若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函数±g,f·g当x→x时极限也存在，且1) lim [f(x)± g(x)]= lim f(x) ± lim g(x);2) lim [f(x)g(x)]= lim f(x). lim g(x)又若limg(x）+0，则f/g当x→x时极限存在，且有兴= lm ()/im g(),3）lim-→x0o g(x)X→0例1f(x)=a,x"+au-x"-l +...+ax+a,则limf(x)=f(x)6中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 §2 函数极限的性质 定理 1（唯一性） 若极限 xf xx 0 lim 存在，则此极限是唯一的． 定理 2（局部有界性）若 xf xx 0 lim 存在，则 在 的某空心邻域 内有界． f 0 x U x 0 定理 3（局部保号性） 若 0 lim 0 x x fx A ，则对任何正数 r A ，存在某 ， 使得对一切 U x 0 xU x 0 ，有 rxf 0 【注】在以后应用局部保号性时，常取 2 A r ． 定理 4（保不等式性） 设 xf xx 0 m li 与都 xg xx 0 m li 都存在，且在某邻域U 0 (,) x 上 ， 有 f xgx 则 xf xx 0 lim xg xx 0 lim 定理 5（迫敛性） 设 0 limx x f x 0 limx x gx A ，且在某 0 U x(,) 上有 xf xh xg 则 ． 0 limx x hx A 定理 6（四则运算法则）若极限 xf xx 0 lim 与 xg xx 0 lim 都存在，则函数 当 时极限也存在，且 , gfgf 0 xx )1 0 lim xx xgxf 0 lim xx xf 0 lim xx xg ； 2） 0 lim xx xgxf 0 0 lim ( ) lim ( ) xx xx f x g x 又若 ，则 0 lim xx xg 0 f / g 当 时极限存在，且有 0 xx 3） 0 lim xx xg xf xgxf xx xx 0 0 lim lim ． 例 1 1 1 1 ( ) n n n n 0 f x a x a x ax a ，则 0 0 lim ( ) ( ) x x f x fx 中国矿业大学数学学院 6
华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限3例2求limx+1I-i(x+1当x+1±0时有31(x + 1)(x - 2)x-2x3+1x3 +1x?-x+1x+1故所求的极限等于x-2-1-2lim(-1)2 -(-1)+1+-1 x2-x+1sinxo =tan x (cos xo ±0)sinxlim tan x = lim例3+ocosxX->X0cOSXo1例4教材例1]求lim当x>0时，有1-x≤1，而lim(1-x)=1，故由迫敛性得：lim1-x，故由迫敛性得：limx当x<0时，有1<x综上，lim例5［教材例4，习题3.2：6]证明 lima=1(a>0,a+1)当α>1时，对任给的ε>0（不妨设<1)，为使a*-1<即1-<α<1+6，利用对数函数log。x（当a>1时）的严格递增性，只要log,(1- )<x<log,(1+s)于是，令 = min(log,(1 +s),-log,(1-s))则当0<风<8时，就有a-1<8成立，从而证得结论，7中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 例 2 求 1 3 1 1 lim 3 x 1 x x ． 当 时有 x 01 1 2 1 21 1 3 1 1 3 3 2 x x x x xx x x 故所求的极限等于 1 111 21 1 2 lim 2 2 1 xx x x 例 3 0 0 0 0 0 0 sin sin lim tan lim tan cos 0 cos cos xx xx x x x x x x x 例 4[教材例 1] 求 0 lim x x x 1 。 1 1 1 1 x x x 当 时，有 x 0 1 x x x 1 1，而 0 lim (1 ) 1 x x ，故由迫敛性得： 0 lim x x x 1 =1 当 时，有 x 0 1 x x 1 1 x ，故由迫敛性得： 0 lim x x x 1 1 综上， 0 limx x x 1 1。 例 5［教材例 4，习题 3.2：6］ 证明 0 lim 1 0, 1 x x a aa 。 当 时，对任给的 a 1 0 (不妨设 1)，为使 1 x a 即1 x a 1 ，利用对数函数 （当 时）的严格递增性，只要 x a log a 1 1log 1log a a x 于是，令 a a 1log,1logmin ， 则当0 x 时，就有 1 x a 成立，从而证得结论． 中国矿业大学数学学院 7
华师大数学分析(第五版)讲义第三章函数极限一当0<α<1时，令b=>1，则a1lima"= lim--x→0 b*x-→0例6［习题3.2：5]设f(x)>0,lim f(x)=A。证明：limf(x)=A其中n≥2为正整数。因为f(x)>0，由保不等式性，limf(x)=A≥0。（1）当A=0时，由limf(x)=0，V>0,38>0当0<x-x<8时，有f(x)"，即(x)，证得limf(x)=0。(2)当 A>0时，由limf(x)=A>0,V>0,38>0,当0<x-x<8时，有IF(x)-A<6。 从而[f(x) - A|[f(x) - A|6(x)-A=A"-"- () + Af"-2 (x)+..+A--/An-I证得limf(x)=。定理7（复合函数极限定理1）设（1）limf(u)=A（uo,A可无穷）；→1o（2）limg(x)=u（x可无穷）；（3）在x的某空心邻域Uxo,S)上，g(x)u。（当u无穷时，此条件不要）；则lim f[g(x))= lim f(u)= A证设xo,u。都是有限数，A也是有限数（其它情况作为习题，极限为地穷时，见后面内容)。由（1)，>0,38>0，当0u-<8时，有[f(u)- A|<8由（2)，对上面8，38(0<8<)，当0x-x<8时，有（结合条件(3)）8中国矿业大学数学学院
华师大数学分析(第五版)讲义 第三章 函数极限 中国矿业大学数学学院 8 当 时，令 0 a 1 1 b 1 a ，则 0 0 1 lim lim 1 x x x x a b 例 6［习题 3.2：5］ 设 0 ( ) 0, lim ( ) x x f x fx A。证明： 0 lim ( ) n n x x f x A 其中 为正整数。 n 2 因为 ，由保不等式性， f x() 0 0 lim ( ) 0 x x fx A 。 （1）当 A 0 时，由 0 lim ( ) 0 x x f x ， 0, 0, 当 0 0 x x 时，有 ( ) n f x ，即 ( ) n f x ，证得 0 lim ( n x x f x ) 0 。 （2）当 A 0 时，由 0 lim ( ) 0 x x fx A ， 0, 0, 当 0 0 x x 时，有 fx A ( ) 。从而 1 2 11 ( ) ( ) ( ) () () n n n n n n nnn nnn fx A fx A fx A 1 f x Af x A A A 证得 0 lim ( ) n n x x f x A 。 定理 7（复合函数极限定理 1）设 （1） 0 lim ( ) u u f u A （ 可无穷）； 0 u A, （2） 0 0 lim ( ) x x gx u （ 0 x 可无穷）； （3）在 0 x 的某空心邻域 0 U x(,) 上， 0 gx u ( ) （当 无穷时，此条件不要）； 0 u 则 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f gx fu A 证 设 0 0 x ,u 都是有限数， A 也是有限数（其它情况作为习题，极限为地穷时，见后面 内容）。 由（1）， 1 0, 0 ，当 0 0 u u 1 时，有 fu A ( ) 由（2），对上面 1 ， (0 ) ，当 0 0 x x 时，有（结合条件(3)）