一、空间直角坐标系第五章向量与空间解析几何例 1证明以点M,(4,3,1)、M(7,1,2)及M,(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形.[M,M |= /(7-4)° +(1-3)° +(2-1)2 = /14 ,证M,M= /(5-7) +(2-1)+(3-2)=/6,M,M= /(4-5)°+(3-2) +(1-3) =/6 ,即M,M=M,M，因此该三角形是等腰三角形11
11 第五 章 向量与空间解析几何 例 1 证明以点 M1 (4,3,1)、 M2 (7,1,2) 及 M3 (5,2,3) 为顶点的三角形是等腰 三角形. 证 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 M M = − + − + − 7 4 1 3 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 M M = − + − + − 5 7 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 M M = − + − + − 4 5 3 2 1 3 即 M M M M 2 3 3 1 = ，因此该三角形是等腰三角形. 一、空间直角坐标系 = 14 ， = 6 ， = 6
一、空间直角坐标系第五章向量与空间解析几何例2在z轴上求与两点A(-4,3,1)和B(3,5,-2)等距离的点解设所求点的坐标为M(0,0,2），由AM=BM，即(0+4) +(0-1) +(z-7) = /(3-0) +(5-0)° +(-2-2)2得≥=1414，因此所求点的坐标为M0,0,912
12 第五 章 向量与空间解析几何 例 2 在 z 轴上求与两点 A(−4,3,1) 和 B(3,5, 2− )等距离的点. 解 设所求点的坐标为M z (0,0, ) ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 4 0 1 7 3 0 5 0 2 + + − + − = − + − + − − z z ， 得 14 9 z = ， 一、空间直角坐标系 由 AM BM = ，即 因此所求点的坐标为 14 0,0, 9 M
二、向量的运算第五章向量与空间解析几何1。向量的投影及投影定理将向量、b的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向转过角度0后可与另一个向量正向重合（见图5-8），则称0为向量a、b的夹角，记作(a,b)，即0=(a,b)=(b,a) (0≤0≤元)图5-813h
13 第五 章 向量与空间解析几何 1、向量的投影及投影定理 将向量a 、b 的始点重合，在两向量的所在平面上，若一个向量逆时针方向 转过角度 后可与另一个向量正向重合（见图 5-8）， = = a b b a , , (0 π) ， 二、向量的运算 图5-8▲▲▲ a a b 则称 为向量a、b 的夹角，记 作 a b, ，即
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何已知两向量1b，如果它们的夹角0=0或0=元，称这两个向量平行，记为a//b，其中两个向量指向一致时=0；指向相反时θ=元，指向相同的两个平行向量、b如果还满足a=bl，那么这两个向量相等，记为a=b.已与向量a的模相同，但方向相反的向量叫做的负向量，记作一a.对于一向量与一轴的夹角，可将其中一轴看作是向量，按两向量之间的夹角来度量，对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角14
14 第五 章 向量与空间解析几何 已知两向量a，b ，如果它们的夹角 = 0或 = π ，称这两个向量平行，记 为a // b ， 对于一向量与一轴的夹角, 可将其中一轴看作是向量，按两向量之间的夹角 来度量, 对于两个轴之间的夹角则看作是两向量的夹角. 1、向量的投影及投影定理 其中两个向量指向一致时 = 0；指向相反时 = π， 指向相同的两个 平行向量a、b 如果还满足 a b = ，那么这两个向量相等，记为 a b = . 已与向量 a的模相同，但方向相反的向量叫做a的负向量，记作 −a
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何通过空间一点A作u轴的垂直平面（见图5-9），该平面与u轴的交点A称为点A在u轴上投影AuA图5-915
15 第五 章 向量与空间解析几何 通过空间一点 A 作u 轴的垂直平面（见图 5-9），该平面与u 轴的交点 A称 为点 A 在u 轴上投影. 1、向量的投影及投影定理 图5-9 A A＇ u