1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何如果向量AB的始点A与终点B在u轴上的投影分别为A'、B（见图5-10），则u轴上的有向线段A'B的值A'B'称为向量AB在u轴上的投影，记作Prj,AB=A'B'，u轴称为投影轴B注值AB'是指其绝对值等于A'B'的A长度，即A'B，符号由AB'的方向决定：-u当AB与U轴同向时，取正号；当AB'与UBA轴反向时，取负号图5-1016
16 第五 章 向量与空间解析几何 如果向量 AB 的始点 A 与终点 B 在u 轴上的投影分别为 A 、B（见图 5-10）， 图5-10 注 值 A B 是指其绝对值等于 A B 的 长度，即 A B ，符号由 A B 的方向决定： 当 A B 与u 轴同向时，取正号；当 A B 与u 轴反向时，取负号. 1、向量的投影及投影定理 则 u 轴上的有向线段 A B 的 值 A B 称为向量 AB 在 u 轴上的投 影，记作 Pr j u AB A B = ， u 轴称为投影轴. A A＇ B＇ B u
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何定理1向量AB在u轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量AB的夹角6的余弦，即Prj,AB=ABcosO证将向量AB的始点置于uB轴（见图5-11）则由直角三角形关D074系得-ua4Pr ju.AB-Pr j.AB=ABcoso图5-111700合
17 第五 章 向量与空间解析几何 定理 1 向量 AB 在u 轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量 AB 的夹角 的余弦，即 Pr j cos u AB AB = . 证 将向量 AB 的始点置于 u 轴（见图 5-11）， 图5-11 1、向量的投影及投影定理 A A＇ B＇ u＇ B u 则由直角三角形关 系得Pr j Pr j cos u u AB AB AB = =
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投影为负；成直角时，向量的投影为零（见图5-12），Cu图5-1218
18 第五 章 向量与空间解析几何 当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投 影为负; 成直角时，向量的投影为零（见图 5-12）. 1、向量的投影及投影定理 图5-12 c b a u
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和证设点A、B和C在轴上的投影分别是A'、B'和C"，则Prj,AB=AB'Prj,BC=B'C"，Prj,AC=A'C",由于无论A'、B'和C'在轴上的位置如何，总有uRCA'B'+B'C"= A'C"故Pri.AB+Prj,BC=Pri.AC见图5-13.图5-13本性质可推广到有限个向量的情形：Prj,a+Prj,a,+...+Prja,=Prj(a +a,+...+a,)190定理3: Pr j,(Aa)=aPrj,a.证证明留作习题P
19 第五 章 向量与空间解析几何 定理 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和. 证 设点 A 、 B 和C 在轴上的投影 分别是 A、 B 和C ，则Pr j u AB A B = ， Pr j u BC B C = ，Pr j u AC A C = ， 本性质可推广到有限个向量的情形： Pr j Pr j Pr j Pr j u u u n u n a a a a a a 1 2 1 2 + + + = + + + ( ). 证 证明留作习题. 图5-13 1、向量的投影及投影定理 定理 3：Pr j Pr j u u ( a a ) = . 由于无 论 A、B和C在轴上的位置如何，总有 A B B C A C + = ， 故Pr j Pr j Pr j u u u AB BC AC + = ，见图 5-13. A＇ B＇ C＇ C B A u
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何以共起点向量、b为平行四边形相邻两边，以a向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为α+b，见图5-14.以向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对角线向量为向量的差.见图5-15，记为a-b=a+(-b)BB-b=a+b万b00AAaa图5-15图5-14200OA
20 第五 章 向量与空间解析几何 以共起点向量 a、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 a + b，见图 5-14. 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 图5-14 图5-15 B O A C b a 以 a 向量的终点为 起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 见 图 5-15，记 为 a b a + b − = −( ). B O A C b a