11-cosxlimx22x->0例1 证明：当x→0时,4xtan2x为x的四阶无穷小4xtan xtanx.3解 lim:4limx4x0x-→0x故当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小例2 当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数1tanx-sinx1-cosxtan解··limC0)2tsx-→0x-0x:tanx一sinx为x的三阶无穷小
例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 x x x 3 0 4 tan lim→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 x x x tan sin lim0 − → = → x x x tan lim(0 , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小. x4 ? x3 x ) 1 cos2 x − x = C ( C 0 ) 2 1 cos 1 lim 2 0 = − → x x x
二、天利用等价无穷小替换求极限定理1 β~αβ=α+o(α)证=设α～β,则β-αBinlim=0ααα因此β-α =o(α),即β=α+o(α)二设β=α+o(α),则βα+o(α)limJimαα因此 α~ β
定理1 证 ~ , − lim = lim −1 = lim = 0, 即 = + o(). = + o(), lim ~ . () lim + o = = + () lim 1 o = 1, 因此 设 则 − 1 因此 − = o( ), 设 则 ~ 二、利用等价无穷小替换求极限 = + o( )