命题1初值问题(31)等价于积分方程d f(xy)(3.1) y(x0) y=y0+.f(y)dt(35) 证明:若y=q(x)为(3.1)的连续解,则 do(x) f(x,0(x) dx (x)=y 对第一式从x到x取定积分得 0(x)-0(x0)=「f(x,0(x)dx 即(x)=y0+.f(x,0(x)x 故y=0(x)为3.5的连续解
命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 ( , ) (3.5) 0 y y0 f t y dt x x = + 证明: 若y =(x)为(3.1)的连续解,则 , ( ) ( , ( )) ( ) 0 0 = = x y f x x dx d x 对第一式从x0 到x取定积分得x x f x x dx x x − = 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 即 x y f x x dx x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 故y =(x)为(3.5)的连续解. ,(3.1) ( ) ( , ) 0 0 = = y x y f x y dx dy
反之着y=(x)为35舶的连续解则有 0(x)=y+f(,9()t 由于f(x,y)在R上连续,从而f(t,0()连续, 故对上式两边求导,得 do(x) f(x,p(x)) x 且(x)=y+f(x,(x)x=y 即y=0(x)为(3.1)的连续解
反之 若y =(x)为(3.5)的连续解,则有 x y f t t dt x x = + 0 ( ) ( , ( )) 0 由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续, 故对上式两边求导,得 ( , ( )) ( ) f x x dx d x = 且 0 0 0 0 0 (x ) y f (x, (x))dx y x x = + = 即y =(x)为(3.1)的连续解
构造 Picard逐步逼近函数列{qn(x)} Po(x)=yo (3.7) 0(x)=y+.f(,9n1(5)lx≤x≤x+h (n=1,2,…) 注一般来说连续函数g0(x)可任取但实际上为 方便,往往取(x)=y的常数值 问题这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分 是否有意义?
构造Picard逐步逼近函数列 { (x)} n 0 0 (x) = y 0 0 1 0 0 ( ) ( , ( )) x n n x x y f d x x x h = + + − (n =1,2, ) (3.7) 问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义? , ( ) . ( ) , 0 0 0 方便 往往取 的常数值 一般来说连续函数 可任取 但实际上为 x y x = 注
命题2对于所有n和x∈[x,x+h2n(x)连续且满足 (x)-y|≤b,(38) 证明(用数学归纳法) n=时1(x)=y+f(52y0)d5 显然(x)在[x0,x0+h上连续,且 ()-=cs)d4∫/(5, Mx-x≤M≤b M=Marf(x,y)l h=mn( a ∈R
命题2 对于所有n和x[x0 , x0 + h],n (x)连续且满足 ( ) , (3.8) n x − y0 b 证明:(用数学归纳法) n =1时 x y f y d x x ( ) ( , ) 1 0 0 0 = + 显然1 (x)在[x0 , x0 + h]上连续,且 1 (x) − y0 = f y d x x 0 ( , ) 0 f y d x x ( , )0 0 0 M x − x Mh b min( , ) M b ( , ) h = a ( , ) M Max f x y x y R =