第1章线性方程组 1.1消元法 内容精要 包含？个未知量，5个方程的线性方程组可表示为 a1x1十a12x2十.十a1mxw=b1, anx1+a2x2+.十ann=b2 (1) 年。华里年年年年年卡年车年零果票果华华中华华中年 aax1+arx2十.+axw=b. 其中x1,x,.,x是n个未知量.a(i=1,2,.,5j=1,2,.,n) 称为方程组的系数：(i=1,2,.,n)称为常数项.系数a的第1 个下标：表示它在第：个方程，第2个下标方表示它是x;的系数： b,的下标i表示它是第i个方程的常数项. 线性方程组(1)的一个解是由n个数c1,c2,.,c组成的有序 数组(c1,c2,.,c,),用c1,c2,.,Cn分别代替方程组(1)中的x1,x2, “,x后，方程组(1)中的每个方程都变成恒等式.方程组(1)的解 的全体称为方程组(1)的解靠合.如果两个线性方程组有相同的解 集合，就称它们是同解的. 解线性方程组的问题就是要判断一个线性方程是否有解，有 多少个解，并在有解的情况下找出解集合。 消元法就是把线性方程组进行变换，化成一个与之同解的便 于求解的方程组，从而求出原方程组的解。 。1●
定义1下述3种变换称为线性方程组的初等变换： (1)用一个非零的数乘一个方程： (2)用一个数乘一个方程后加到另一个方程上； (3)互换两个方程的位置. 初等变换把线性方程组变成与它同解的方程组， 用初等变换把方程组(1)化为同解的阶梯形方程组 fcu+.+c+.+cu,+.十x=d, C2x,十.十c2,工.十.十c2xn=d2, cr,十.十cnx.=dr, (2) 0=d,+1 0=0, 0=0. 其中c午0，(=1,2，.，r)；方<j2<.<.方程组(2)中最后 些方程0=0是恒等式，可以去掉，不影响方程组的解 因为方程组(1)与方程组(2)是同解的，所以可以通过方程组 (2)来讨论方程组(1)的解. (1)如果d+1卡0，则方程组(1)无解. (2)如果d+1=0,r=n,那么，线性方程组(1)有唯一解，并可 以由线性方程组(2)求出此解. (3)如果d+1=0,r<n,那么，线性方程组有无穷多解，此时， 为了叙述方便，不妨设1=1，j2=2,.,方，=r.将线性方程组(2)改 写成 ·2·
11z1+c1x+.十c1x,=d1-C1+x,+1-.-Cwxn, C2x2十.十c2x,=d2-c+1x+1一.-c2x.， Ent,=d,-Crr+1Zr+1-.-cmzs. 可解出 (z1=k十k+1之+1十.十k1工， x2=k2十克2+1x+1十.十k2-工u, . x,=k,+k,r+1x+1+.十k工 这组表达式称为方程组(1)的一般解.x+1,“,x.称为一组自由未 知量.任给x+1,.,x。的一组值，就可唯一地定出x1,x2,.,x,的 值，从而得到线性方程组(1)的一个解. 在进行计算时可以把x1,工2，.，x,略去不写，而把系数与常 数项列成一个表来计算， 习题1.1 1.用消元法解下列线性方程组： x1一2xz十xg十x4=1, (1) x1-2x2十xg-x4=-1, (x1-2x2十x3+5x4=5: {1+x2-3x=-1, (2) 2x1+x2-2x1=1, x1十x2十x=3, x1+2x2-3x3=1s 2x1+x2十x=2, (3) x1十3缸2+xs=5, x1十x2十5x=-7, (2x1十3x2一3x1=141 3
2x1-2x2十x1x,十x=2, x1一4x2+2x3-2x4+3x5=3, (4) 4x1-10x2+3x3-5x+7x3=8, (x1十2x2-x3十x4-2xs=-1: x1十2x2-2x+x4=0, (5)2x1十4x2十2x3-x4=0, {-x1-2x2一4x1十2x4=0. 2。求a,使线性方程组 2x1-x:+x十x4=1, x1十2-x5+4红4=2， x1+7x3-4xg+11x4=a. 有解，并求解. 3.判断a与b取什么值时，钱性方程组 [x1十x2+xa+x4+x5=1, 3x1十2x2+x3十x4一3x3=a, x2+2x3+2x4+6xs=3, 5x1十4x1十3x3+3x4-x6=6. 有解？在有解的情形，求一般解。 4.证明：线性方程组 x1一x2= 工2一x3=a2, -x4=a, x4一xs=aus (xs一x1=a5 有解的充分必要条件为 a=0. f- 4
并在有解的情形，求它的一般解。 解 ® 1.(1)解：对原线性方程组进行初等变换 x1-2x2十x3十x4=1, {x1-2x2十x3-x=一1， x1-2x2+x1十5x4=5. x1-2x2十x4十x4=1, -2x=-2, 6x4=6. {x1-2x2+x3+x,=1, x4=1, 0=0. 所以，此线性方程组有无穷多解，一般解为 {x1=2xg-x3, lx4=1. 其中x,是自由未知量 (2)解：对原方程组作初等变换 (1 1-3-1) 1-3-1 e 1一2 4 3 1 3 0 0 4 4 2 -3 1 0 1-3 -1 1 4 3 4 5 0 0 1 0 o 0 5