三、基本定理 微积分学基本定理 定理710 若a,b上连续则可变上限积分在a,b上 处处可导,且 d o( de Ja f(o)dt=f(x), xE[a, bl 分析:前提∫在a,b连续→x)在a,b可导且p(x)=f(x) 只须f在a,b连续→lim=f(x) △x-0△x
三、 基本定理 — —微积分学基本定理 定理7.10 若f在[a,b]上连续， 则可变上限积分在[a,b]上 处处可导， 且 ( ) f (t)dt f (x), x [a,b]. dx d x x a = = 分析: 前提 [ , ] ( ) [ , ] ( ) ( ) ' f在 a b 连 续 x 在 a b 可导且 x = f x 只须 [ , ] lim ( ). 0 f x x f a b x = → 在 连续
证明对上任一确定的Ax≠0且x+A∈lab时 由变上限积分的定义 △=0(x+△x) x+△x f()di 由积分第一中值定理 △p1 x+△x f(t)d=f(x+a△x)20≤≤1 △x△x 由于/在点x连续,故有 △ lim= lim f(x+BAx)=f(x) △x→>0△x△x→>0 所以(x)在x可导且(x)=f(x) 由x在a,b1上的任意性,故是/在a 个原函数
证明: 对[ , ] 0 [ , ] a b x x x x a b 上任一确定的 当 + 且 时 由x a b f a b 在[ , ] , [ , ] . 上的任意性 故是 在 上的一个原函数 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a a x x x f t dt f t dt + = + − = − ( ) . x x x f t dt + = 由变上限积分的定义 1 ( ) ( ), 0 1. x x x f t dt f x x x x + = = + 由积分第一中值定理 0 0 lim lim ( ) ( ). x x f x x f x x → → = + = 由于f x 在点 连续,故有 所以 ( ) ( ) ( ). x x x f x 在 可导且 =