2.1微分方程提法 23 2.1.2微分方程的形式 连续介质问题的分析方法是：首先从介质中取微元进行分析，建立控制方 程：然后结合具体的定解条件G边界条件和初始条件)求解控制方程。显然，问题 的物理实质不同，控制方程和定解条件也就不同。然而，它们可被一般地表示为 (图2.2) AI (u) A(u)=A2(u)}=0 在2内2.1) … -0 Bi (u) B(u)=B2(u)=0 在T上2.2) 图2.2定解问题 待求解的未知函数“可以是标量场（例如温度），也可以是若干变量组成的向量 场（例如位移、应力）。A和B为对于独立变量（例如空间坐标）的微分算子。上 述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。 下面给出直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件，其建立方法 可参考弹性力学教科书（文献22,51,84）。 2.1.3弹性力学方程 1)平衡方程 +器++X=0 密0=y=0 2.3a) 警+兴 +Z=0 0+f斤=0 (i,j=1,2,3) 2.3b) 其中，X,Y,Z分别为体力向量∫沿x,y,之方向的分量，即 ((X f=f2=Y [X Y Z]T
２１２ 微分方程的形式 连续介质问题的分析方法是：首先从介质中取微元进行分析，建立控制方 程；然后结合具体的定解条件（边界条件和初始条件）求解控制方程。显然，问题 的物理实质不同，控制方程和定解条件也就不同。然而，它们可被一般地表示为 图２２ 定解问题 （图２２） Ａ（ｕ）＝ Ａ１ （ｕ） 烅Ａ２ （ｕ） 烄 烆 烍 烌 … 烎 ＝０ 在Ω 内 （２１） Ｂ（ｕ）＝ Ｂ１ （ｕ） 烅Ｂ２ （ｕ） 烄 烆 烍 烌 … 烎 ＝０ 在Γ 上 （２２） 待求解的未知函数ｕ可以是标量场（例如温度），也可以是若干变量组成的向量 场（例如位移、应力）。Ａ 和Ｂ 为对于独立变量（例如空间坐标）的微分算子。上 述微分方程可以是单个方程，也可以是一组方程。 下面给出直角坐标系下弹性静力问题的控制方程和边界条件，其建立方法 可参考弹性力学教科书（文献２２，５１，８４）。 ２１３ 弹性力学方程 （１）平衡方程 σｘ ｘ＋ τｙｘ ｙ ＋ τｚｘ ｚ ＋Ｘ＝０ τｘｙ ｘ ＋ σｙ ｙ ＋ τｚｙ ｚ＋Ｙ＝０ τｘｚ ｘ ＋ τｙｚ ｙ ＋ σｚ ｚ＋Ｚ 烍 烌 ＝０烎 （２３ａ） σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２３ｂ） 其中，Ｘ，Ｙ，Ｚ 分别为体力向量ｆ沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，即 ｆ＝ ｆ１ ｆ２ ｆ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 ＝ Ｘ 烅Ｙ 烄 烆 烍 烌 Ｚ烎 ＝［Ｘ Ｙ Ｚ］Ｔ ２１ 微分方程提法 ３２
24 第2章有限单元法基本原理 而应力张量为具有6个独立分量的对称张量，常写成如下向量形式 a=Lax dy d:Try tys tar 式Q.3b)为平衡方程的指标记法。不重复出现的指标称为自由指标，重复出现 的指标称为哑标。按照爱因斯坦求和约定，哑标要取完指标域中所有的值，然后 将所得的各项加起来。 ②)几何方程 6,0 2Em-Tn-ox+dy _av+du】 器+ 2=:=a 2.4a) 2a=a-8+8股 8=2（u+西.） (i,j=1,2,3) 2.4b) 其中，u,v,心分别为位移向量u沿坐标轴x,y,之方向的分量，即 u=3uzp=v=Lu 应变张量e,也是对称张量，其向量形式为 s=Ler ey es Try Yye YarT 3)本构方程 对于各向同性的线性弹性材料，本构方程就是广义Hooke定律，即 ex=[a,-y,+a)], Y=G四 6=,-+,1 1 YyGx 2.5a） :=.va,+y)], Yar-Ga) 或 0=λ08，+2Ge (i,j=1,2,3) 2.5b) 可=DheN 2.5c)
而应力张量σｉｊ为具有６个独立分量的对称张量，常写成如下向量形式 σ＝［σｘ σｙ σｚ τｘｙ τｙｚ τｚｘ］Ｔ 式（２３ｂ）为平衡方程的指标记法。不重复出现的指标称为自由指标，重复出现 的指标称为哑标。按照爱因斯坦求和约定，哑标要取完指标域中所有的值，然后 将所得的各项加起来。 （２）几何方程 εｘ＝ｕ ｘ， ２εｘｙ＝γｘｙ＝ｖ ｘ＋ｕ ｙ εｙ＝ｖ ｙ ， ２εｙｚ＝γｙｚ＝ｗ ｙ ＋ｖ ｚ εｚ＝ｗ ｚ， ２εｚｘ＝γｚｘ＝ｕ ｚ＋ｗ 烍 烌 ｘ烎 （２４ａ） εｉｊ＝１ ２ （ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ） （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２４ｂ） 其中，ｕ，ｖ，ｗ 分别为位移向量ｕ沿坐标轴ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，即 ｕ＝ ｕ１ ｕ２ ｕ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 ＝ ｕ 烅ｖ 烄 烆 烍 烌 ｗ烎 ＝［ｕ ｖ ｗ］Ｔ 应变张量εｉｊ也是对称张量，其向量形式为 ε＝［ ］ εｘ εｙ εｚ γｘｙ γｙｚ γｚｘ Ｔ （３）本构方程 对于各向同性的线性弹性材料，本构方程就是广义 Ｈｏｏｋｅ定律，即 εｘ＝１ Ｅ ［σｘ－ν（σｙ＋σｚ）］， γｘｙ＝１ Ｇ τｘｙ εｙ＝１ Ｅ ［σｙ－ν（σｚ＋σｘ）］， γｙｚ＝１ Ｇ τｙｚ εｚ＝１ Ｅ ［σｚ－ν（σｘ＋σｙ）］， γｚｘ＝１ Ｇ τ 烍 烌 ｚｘ烎 （２５ａ） 或 σｉｊ＝λθδｉｊ＋２Ｇεｉｊ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２５ｂ） 或 σｉｊ＝Ｄｉｊｋｌεｋｌ （２５ｃ） ４２ 第２章 有限单元法基本原理
2.1微分方程提法 25 其中，E为材料的弹性模量：y为泊松比：G为剪切模量：9=ex+e,+e.为体积 应变：而 E E 1=q+)1-2)' G=20+y 在有限单元法中，本构方程常写成矩阵形式，即 8=C或g=DE 2.6) 其中，C为柔度矩阵：D为弹性矩阵，可写成下列形式 [I-v 0 0 07 1-y 0 0 0 1-y0 0 0 1-2y D=1+)1-2 0 0 2 2.7) 称 1-2y 0 1-2y ④)边界条件 在给定面力的边界T。上，应力边界条件表示为 lo:+mis+nr= ltry+moy+ntsy=Y 2.8a) lte+mty nds=Z) nP=p=p;(i,j=1,2,3) 2.8b) nG=p 2.8c) 其中，，了，2为己知的边界面力沿x,y,之方向的分量，边界面力向量p记为 p=3P2=3Y =吓Z] ((z l,,n为边界外法线N的方向余弦，即 I=n,=cos(N,x), m=ny=cos(N,y), n=n2=cosV,之) 而
其中，Ｅ 为材料的弹性模量；ν为泊松比；Ｇ 为剪切模量；θ＝εｘ＋εｙ＋εｚ 为体积 应变；而 λ＝ νＥ （１＋ν）（１－２ν）， Ｇ＝ Ｅ ２（１＋ν） 在有限单元法中，本构方程常写成矩阵形式，即 ε＝Ｃσ 或 σ＝Ｄε （２６） 其中，Ｃ 为柔度矩阵；Ｄ 为弹性矩阵，可写成下列形式 Ｄ＝ Ｅ （１＋ν）（１－２ν） １－ν ν ν ０ ０ ０ １－ν ν ０ ０ ０ １－ν ０ ０ ０ 对 １－２ν ２ ０ ０ 称 １－２ν ２ ０ １－２ν 熿 燀 燄 ２ 燅 （２７） （４）边界条件 在给定面力的边界Γσ上，应力边界条件表示为 ｌσｘ＋ｍτｙｘ＋ｎτｚｘ＝珚Ｘ ｌτｘｙ＋ｍσｙ＋ｎτｚｙ＝珡Ｙ ｌτｘｚ＋ｍτｙｚ＋ｎσｚ＝珔 烍 烌 Ｚ烎 （２８ａ） ｎｊσｊｉ≡ｐｉ＝珔ｐｉ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２８ｂ） ｎσ＝珔ｐ （２８ｃ） 其中，珚Ｘ，珡Ｙ，珔Ｚ 为已知的边界面力沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量，边界面力向量珔ｐ记为 珔ｐ＝ 珔ｐ１ 珔ｐ２ 珔ｐ 烅 烄 烆 烍 烌 ３烎 ＝ 珚Ｘ 珡Ｙ 珔 烅 烄 烆 烍 烌 Ｚ烎 ＝［珚Ｘ 珡Ｙ 珔Ｚ］ ｌ，ｍ，ｎ为边界外法线Ｎ 的方向余弦，即 ｌ＝ｎｘ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｘ）， ｍ＝ｎｙ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｙ）， ｎ＝ｎｚ＝ｃｏｓ（Ｎ，ｚ） 而 ２１ 微分方程提法 ５２
26 第2章有限单元法基本原理 [n 00 ny 0 n:7 [l 00 m 0 n7 n=00xn:0=0m01n0 L00nn,0nz」00nm01J 在位移有限单元法中，边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边 界条件是指结构在边界上所受到的位移约束，可表示为 u=u,v=v,w-w 2.9a) 或 4=u;(i=1,2,3) 2.9%) 其中，u,,为己知的边界位移分量。 2.2泛函变分提法 2.2.1等效积分形式 现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须 为零，因此有 J。'Am)dn=J,[oA1m）+A)+…]an=0 (a 其中，v=[o12 …]「是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意可 积（在2内）函数。 不难证明，式a)是与微分方程组(2.1)完全等效的积分形式，即式(a)成立 则式2.1)成立。假设A(u)在2内不处处为零，则由于v可以任意选择，我们 选v为处处与A(u)同号的函数，于是vTA(u)在域内恒正。可见，要满足式 (a),必须A(u)=0 同理，假如边界条件(2.2)在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积（在 Γ上)函数应当成立 JBdr=Jn[oBi）+2B2）+…]dr=0 6) 这样，就可得到与控制方程(2.1)和边界条件2.2)等效的积分形式 A (u)d+B (u)dr =0 2.10) 统称为微分方程的等效积分形式
ｎ＝ ｎｘ ０ ０ ｎｙ ０ ｎｚ ０ ｎｙ ０ ｎｘ ｎｚ ０ ０ ０ ｎｚ ｎｙ ０ ｎ 熿 燀 燄 ｘ燅 ＝ ｌ ０ ０ ｍ ０ ｎ ０ ｍ ０ ｌ ｎ ０ ０ ０ ｎ ｍ ０ 熿 燀 燄 ｌ燅 在位移有限单元法中，边界上的作用力将被转化成等效节点荷载。因此边 界条件是指结构在边界上所受到的位移约束，可表示为 ｕ＝珔ｕ， ｖ＝珔ｖ， ｗ＝珡ｗ （２９ａ） 或 ｕｉ＝珔ｕｉ （ｉ＝１，２，３） （２９ｂ） 其中，珔ｕ，珔ｖ，珡ｗ 为已知的边界位移分量。 ２２ 泛函变分提法 ２２１ 等效积分形式 现在来研究微分方程的等效积分形式。由于控制方程在域内每一点都必须 为零，因此有 ∫Ω ｖＴＡ（ｕ）ｄΩ ＝∫Ω ［ｖ１Ａ１ （ｕ）＋ｖ２Ａ２ （ｕ）＋…］ｄΩ ＝０ （ａ） 其中，ｖ＝［ｖ１ ｖ２ …］Ｔ 是函数向量，它是一组同微分方程个数相等的任意可 积（在Ω 内）函数。 不难证明，式（ａ）是与微分方程组（２１）完全等效的积分形式，即式（ａ）成立， 则式（２１）成立。假设Ａ（ｕ）在Ω 内不处处为零，则由于ｖ可以任意选择，我们 选ｖ为处处与Ａ（ｕ）同号的函数，于是ｖＴＡ（ｕ）在域内恒正。可见，要满足式 （ａ），必须Ａ（ｕ）≡０。 同理，假如边界条件（２２）在边界上每点都得到满足，对于一组任意可积（在 Γ 上）函数珔ｖ应当成立 ∫Γ 珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ ＝∫Γ ［ ］ 珔ｖ１Ｂ１ （ｕ）＋珔ｖ２Ｂ２ （ｕ）＋… ｄΓ ＝０ （ｂ） 这样，就可得到与控制方程（２１）和边界条件（２２）等效的积分形式 ∫Ω ｖＴＡ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ 珔ｖＴＢ（ｕ）ｄΓ ＝０ （２１０） 统称为微分方程的等效积分形式。 ６２ 第２章 有限单元法基本原理
2.2泛函变分提法 27 2.2.2微分方程弱形式 )一般形式 通常情况下，可以对式2.10)进行分部积分，从而得到 JCT (v)D ()dQ+ET)F (u)dr=0 2.11) 其中，C,D,E,F是微分算子。通常式(2.11)称为微分方程的弱形式(weak fomm),相对而言，定解问题的微分方程称为强形式(strong form)。 由于分部积分的缘故，场函数“的导数的阶次在弱形式(2.11)中比在等效 积分形式2.10)中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续 性。当然，降低对“的连续性要求是以提高v和v的连续性要求为代价的。不 过，由于原来对v和下并无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。 ②)虚位移原理 在弹性力学问题中，微分方程包括3组控制方程和2组边界条件。假设位 移函数事先已经满足位移边界条件，且应变根据几何方程由位移确定，应力根据 本构方程由应变确定，则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边 界条件。将它们写成等效积分形式，并通过分部积分推导其弱形式。我们将发 现，弱形式就是熟知的虚位移原理。 注意到虚位移或位移变分（虚位移是指任意的、微小的可能位移，位移变分 也是这样定义的，以后在两者之间不作区分)的任意性，可不失一般性地以虚位 移u=[6u6me]下为任意函数p,而v=-F。这样，平衡微分方程和应力 边界条件的等效积分形式为 -nogj+f月a,dn+Jap所-D)a,dr=0 (a) 对上式中的第一项进行分部积分 Jnu,dn=Jnou）dn-Jndn 6) 根据散度定理(Green公式)，即 Jo0,dn=∫Uu,dr Jnay),dn=Jnp,dr=Jp,dr+Jrpadr
２２２ 微分方程弱形式 （１）一般形式 通常情况下，可以对式（２１０）进行分部积分，从而得到 ∫Ω ＣＴ（ｖ）Ｄ（ｕ）ｄΩ＋∫Γ ＥＴ（珔ｖ）Ｆ（ｕ）ｄΓ ≡０ （２１１） 其中，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 是微分算子。通常式（２１１）称为微分方程的弱形式（ｗｅａｋ ｆｏｒｍ），相对而言，定解问题的微分方程称为强形式（ｓｔｒｏｎｇｆｏｒｍ）。 由于分部积分的缘故，场函数ｕ的导数的阶次在弱形式（２１１）中比在等效 积分形式（２１０）中为低。这样，使用弱形式时对场函数便只要求较低阶的连续 性。当然，降低对ｕ的连续性要求是以提高ｖ和珔ｖ的连续性要求为代价的。不 过，由于原来对ｖ和珔ｖ并无连续性要求，故适当提高其连续性并不困难。 （２）虚位移原理 在弹性力学问题中，微分方程包括３组控制方程和２组边界条件。假设位 移函数事先已经满足位移边界条件，且应变根据几何方程由位移确定，应力根据 本构方程由应变确定，则此位移仍需满足的条件只剩下平衡微分方程和应力边 界条件。将它们写成等效积分形式，并通过分部积分推导其弱形式。我们将发 现，弱形式就是熟知的虚位移原理。 注意到虚位移或位移变分（虚位移是指任意的、微小的可能位移，位移变分 也是这样定义的，以后在两者之间不作区分）的任意性，可不失一般性地以虚位 移δｕ＝［δｕ δｖ δｗ］Ｔ 为任意函数珔ｖ，而ｖ＝－珔ｖ。这样，平衡微分方程和应力 边界条件的等效积分形式为 －∫Ω （σｉｊ，ｊ＋ｆｉ）δｕｉｄΩ＋∫Γσ （ｎｊσｊｉ－珔ｐｉ）δｕｉｄΓ ＝０ （ａ） 对上式中的第一项进行分部积分 ∫Ω σｉｊ，ｊδｕｉｄΩ ＝∫Ω （σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ－∫Ω σｉｊδｕｉ，ｊｄΩ （ｂ） 根据散度定理（Ｇｒｅｅｎ公式），即 ∫Ω Ｕｉ，ｉｄΩ ＝∫Γ ＵｉｎｉｄΓ 有 ∫Ω （σｉｊδｕｉ），ｊｄΩ ＝∫Γ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ ＝∫Γσ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ＋∫Γｕ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ （ｃ） ２２ 泛函变分提法 ７２