28 第2章有限单元法基本原理 如前所述，虚位移是可能位移，故在满足给定位移的位移边界T上，虚位 移为零，因为它不再有任何变化的可能。这样，上式中的最后一项为零。由于应 变与位移满足几何方程，故有 c,=3（6+aM.2 考虑到应力张量的对称性，式()中最后一项为 ∫。aadn=Jna+gdn=j。acdn (d) 将式c),d)代入式)得 :dr-edn (e) 再代入式a)得 2.12a) 或 6eTado oufan+ou pdr 2.12b) 显然，上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功W,而左边则是物体内应 力在虚应变上的虚应变能U。可见，式(2.12)即虚功方程，与其相对应的虚位 移原理可表述如下：如果物体在外力作用下处于平衡状态，那么在虚位移发生 时，物体的虚应变能等于外力所做虚功，即 8U=8W 2.13) 3)附加条件 根据前面的分析，在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这 3个附加条件的前提下，虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本 构方程是否为线性，在推导过程中并没有提出任何要求。因此，不论材料是线性 的还是非线性的，虚位移原理都成立。此外，要求事先满足的位移边界条件称为 强制边界条件。 2.2.3势能变分原理 1)一般形式 变分原理涉及到泛函的概念。简单地说，若把自变量（例如坐标）的函数称
如前所述，虚位移是可能位移，故在满足给定位移的位移边界Γｕ 上，虚位 移为零，因为它不再有任何变化的可能。这样，上式中的最后一项为零。由于应 变与位移满足几何方程，故有 δεｉｊ＝１ ２ （δｕｉ，ｊ＋δｕｊ，ｉ） 考虑到应力张量的对称性，式（ｂ）中最后一项为 ∫Ω σｉｊδｕｉ，ｊｄΩ ＝∫Ω １ ２ （σｉｊδｕｉ，ｊ＋σｊｉδｕｊ，ｉ）ｄΩ ＝∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ （ｄ） 将式（ｃ），（ｄ）代入式（ｂ）得 ∫Ω σｉｊ，ｊδｕｉｄΩ ＝∫Γσ ｎｊσｉｊδｕｉｄΓ－∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ （ｅ） 再代入式（ａ）得 ∫Ω σｉｊδεｉｊｄΩ－∫Ω ｆｉδｕｉｄΩ－∫Γσ 珔ｐｉδｕｉｄΓ ＝０ （２１２ａ） 或 ∫Ω δεＴσｄΩ ＝∫Ω δｕＴ ｆｄΩ＋∫Γσ δｕＴ珔ｐｄΓ （２１２ｂ） 显然，上式的右边是外力在虚位移上所做的虚功δＷ，而左边则是物体内应 力在虚应变上的虚应变能δＵ。可见，式（２１２）即虚功方程，与其相对应的虚位 移原理可表述如下：如果物体在外力作用下处于平衡状态，那么在虚位移发生 时，物体的虚应变能等于外力所做虚功，即 δＵ＝δＷ （２１３） （３）附加条件 根据前面的分析，在事先或自动满足几何方程、位移边界条件和本构方程这 ３个附加条件的前提下，虚功方程将与弹性力学全部微分方程等价。其中的本 构方程是否为线性，在推导过程中并没有提出任何要求。因此，不论材料是线性 的还是非线性的，虚位移原理都成立。此外，要求事先满足的位移边界条件称为 强制边界条件。 ２２３ 势能变分原理 （１）一般形式 变分原理涉及到泛函的概念。简单地说，若把自变量（例如坐标）的函数称 ８２ 第２章 有限单元法基本原理
2.2泛函变分提法 29 为自变函数，则泛函就是自变函数的函数。例如，应力和应变是坐标的函数，故 为自变函数：而应变能是应变和应力的函数，因而是泛函。 采用变分原理求解连续介质问题，首先需要建立一个标量泛函Ⅱ，它是未 知场函数“（例如位移场、应力场、温度场、水头场等）及其导数的函数，即 Ⅱ=。Fu0…an+eu0…jar 问题的真实解“使Ⅱ对于自变函数的微小变化！取驻值，即泛函的变分（变分 运算法则与微分运算法则基本相同)等于零 8I=0 2.14) 这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法，变分原理称为问题的泛函变分 提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到，但有些问题至今未能建立起 泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理，并在虚位移原理的基础 上加以证明。 ②)系统总势能 在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能 的形式储存起来，这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能 密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐 渐增加的，应力和应变也将从零开始逐渐增加，则应变能密度W。为 W.d 2.15) 整个物体的应变能为 U.=w.do 2.16) 对于线弹性体，。=DE并注意到D的对称性，有 w.=Je'Dde=之eTDe=之Defw 2.17) u,=∫nw,dn=2 Dedn=2。DwpwdD 2.18) 通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功 释放一部分势能，故外力做功将使势能降低。因此，外力势能就是外力功的负 值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积，即力矢量与相应位移矢 量的标量积。于是，外力势能由下式计算
为自变函数，则泛函就是自变函数的函数。例如，应力和应变是坐标的函数，故 为自变函数；而应变能是应变和应力的函数，因而是泛函。 采用变分原理求解连续介质问题，首先需要建立一个标量泛函 Π，它是未 知场函数ｕ（例如位移场、应力场、温度场、水头场等）及其导数的函数，即 Π ＝∫Ω Ｆ ｕ，ｕ （ ） ｘ，… ｄΩ＋∫Γ Ｅ ｕ，ｕ （ ） ｘ，… ｄΓ 问题的真实解ｕ使Π 对于自变函数的微小变化δｕ取驻值，即泛函的变分（变分 运算法则与微分运算法则基本相同）等于零 δΠ＝０ （２１４） 这就是变分原理。相对于问题的微分方程提法，变分原理称为问题的泛函变分 提法。问题的泛函可通过弱形式或其他方式得到，但有些问题至今未能建立起 泛函及变分原理。现介绍固体力学中的势能变分原理，并在虚位移原理的基础 上加以证明。 （２）系统总势能 在外力作用下，物体内部将产生应力σ 和应变ε，外力所做的功将以变形能 的形式储存起来，这种能量称为应变能。单位体积内储存的应变能称为应变能 密度。通常以物体无变形状态作为计算应变能的零点。假定外力是从零开始逐 渐增加的，应力和应变也将从零开始逐渐增加，则应变能密度 Ｗε为 Ｗε ＝∫ ε ０ σＴｄε＝∫ εｉｊ ０ σｉｊｄεｉｊ （２１５） 整个物体的应变能为 Ｕε ＝∫Ω ＷεｄΩ （２１６） 对于线弹性体，σ＝Ｄε并注意到Ｄ 的对称性，有 Ｗε ＝∫ ε ０ εＴＤｄε＝ １ ２εＴＤε＝ １ ２Ｄｉｊｋｌεｉｊεｋｌ （２１７） Ｕε ＝∫Ω ＷεｄΩ ＝ １ ２∫Ω εＴＤεｄΩ ＝ １ ２∫Ω ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ （２１８） 通常也是以物体无变形状态作为计算外力势能的零点。外力场通过力做功 释放一部分势能，故外力做功将使势能降低。因此，外力势能就是外力功的负 值。功是力与力的作用点在力作用方向上的位移之积，即力矢量与相应位移矢 量的标量积。于是，外力势能由下式计算 ２２ 泛函变分提法 ９２
30 第2章有限单元法基本原理 V=-ufda-updr =fu:da-pau:dr 2.19) 物体的总势能几，定义为物体的应变能U。与外力势能V之和 0=U。+V 2.20) w.do-Jurdo-upar 2.21a) 或 I,=wdo-faudo-pu:dr 2.21b) 在线性弹性条件下，注意到式2.17)，有 n。=Dedn-∫ufan-∫u'par 2.22a) 或 wd-fd-pdr 2.22b) 3)势能变分原理 总势能Ⅱ。是一种泛函。势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件 的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的 变分为零 8。=8U+8V=0 2.23) 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 82Ⅱ。=82Ue+82V≥0 2.24) 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。对这一原理可做如下通俗的理 解：在自然状态下，水总是从高处向低处流，边坡总是有向下滑动的趋势。这类 现象揭示出一种普遍的自然规律，即势能总有最小化的趋向。 首先，在虚位移原理的基础上证明势能泛函的变分为零，即泛函驻值条件 2.23)。为此，对式2.21)求变分 a,=Jnòw,dn-Ja'fan-pdr (a)
Ｖ ＝－∫Ω ｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ ｕＴ珔ｐｄΓ ＝－∫Ω ｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ 珔ｐｉｕｉｄΓ （２１９） 物体的总势能Πｐ 定义为物体的应变能Ｕε与外力势能Ｖ 之和 Πｐ ＝ Ｕε＋Ｖ （２２０） 即 Πｐ ＝∫Ω ＷεｄΩ－∫Ω ｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ ｕＴ珔ｐｄΓ （２２１ａ） 或 Πｐ ＝∫Ω ＷεｄΩ－∫Ω ｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ 珔ｐｉｕｉｄΓ （２２１ｂ） 在线性弹性条件下，注意到式（２１７），有 Πｐ ＝ １ ２∫Ω εＴＤεｄΩ－∫Ω ｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ ｕＴ珔ｐｄΓ （２２２ａ） 或 Πｐ ＝ １ ２∫Ω ＤｉｊｋｌεｉｊεｋｌｄΩ－∫Ω ｆｉｕｉｄΩ－∫Γσ 珔ｐｉｕｉｄГ （２２２ｂ） （３）势能变分原理 总势能 Πｐ 是一种泛函。势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件 的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的 变分为零 δΠｐ ＝δＵε＋δＶ ＝０ （２２３） 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ２Πｐ ＝δ２Ｕε＋δ２Ｖ ≥０ （２２４） 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。对这一原理可做如下通俗的理 解：在自然状态下，水总是从高处向低处流，边坡总是有向下滑动的趋势。这类 现象揭示出一种普遍的自然规律，即势能总有最小化的趋向。 首先，在虚位移原理的基础上证明势能泛函的变分为零，即泛函驻值条件 （２２３）。为此，对式（２２１）求变分 δΠｐ ＝∫Ω δＷεｄΩ－∫Ω δｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ δｕＴ珔ｐｄΓ （ａ） ０３ 第２章 有限单元法基本原理
2.2泛函变分提法 31 =jartn-jar7am-jarnar 根据应变能密度的定义2.15，有化-a,即本构方程2.5》。将共代入式@ ol,=ado-oufda-oupdr 将上式与虚功方程Q.13)比较，可证式2.23)。 现证明线性弹性情况下势能取最小值。以“表示真实位移，“*表示可能 位移，并令 u*=u+ou 6) 代入几何方程，有 E*=E+68 (c) 将式6)，()代入式2.21)，可得 g店=e*ean-nrn-ar ll,Ddn (d) 根据泛函驻值条件，一阶变分加。=O。考虑到应变能的非负性，由式()知 Ⅱ-Ⅱp≥0 即可能位移对应的势能总是不小于真实位移对应的势能，从而最小势能原理得 证。 ④)附加条件 根据前面的分析，将本构方程(2.5)代入虚功方程(2.12)，便立即得到势能 变分原理。可见，势能变分原理与虚位移原理等价，只是本来作为附加条件的本 构方程己引入变分方程。因此，势能变分原理的附加条件就剩下几何方程和位 移边界条件。也就是说，变分方程(2.23)连同附加条件与弹性力学全部微分方 程等价。 在势能泛函中独立变量只有位移“，而应变通过几何方程由位移确定，故 势能变分原理称为一类变量变分原理。此外，由于对泛函实施变分后的变分原 理就是弱形式，故弱形式也称为变分形式。然而，并非所有的弱形式都有相应的 公式化泛函及变分原理
＝∫Ω δεＴＷε ε ｄΩ－∫Ω δｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ δｕＴ珔ｐｄΓ 根据应变能密度的定义（２１５），有Ｗε ε ＝σ，即本构方程（２５）。将其代入式（ａ） 得 δΠｐ ＝∫Ω δεＴσｄΩ－∫Ω δｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ δｕＴ珔ｐｄΓ 将上式与虚功方程（２１３）比较，可证式（２２３）。 现证明线性弹性情况下势能取最小值。以ｕ 表示真实位移，ｕ表示可能 位移，并令 ｕ＝ｕ＋δｕ （ｂ） 代入几何方程，有 ε＝ε＋δε （ｃ） 将式（ｂ），（ｃ）代入式（２２１），可得 Π ｐ ＝ １ ２∫Ω εＴＤεｄΩ－∫Ω ｕＴ ｆｄΩ－∫Γσ ｕＴ珔ｐｄΓ ＝Πｐ＋δΠｐ＋１ ２∫Ω δεＴＤδεｄΩ （ｄ） 根据泛函驻值条件，一阶变分δΠｐ＝０。考虑到应变能的非负性，由式（ｄ）知 Π ｐ －Πｐ≥０ 即可能位移对应的势能总是不小于真实位移对应的势能，从而最小势能原理得 证。 （４）附加条件 根据前面的分析，将本构方程（２５）代入虚功方程（２１２），便立即得到势能 变分原理。可见，势能变分原理与虚位移原理等价，只是本来作为附加条件的本 构方程已引入变分方程。因此，势能变分原理的附加条件就剩下几何方程和位 移边界条件。也就是说，变分方程（２２３）连同附加条件与弹性力学全部微分方 程等价。 在势能泛函中独立变量只有位移ｕｉ，而应变通过几何方程由位移确定，故 势能变分原理称为一类变量变分原理。此外，由于对泛函实施变分后的变分原 理就是弱形式，故弱形式也称为变分形式。然而，并非所有的弱形式都有相应的 公式化泛函及变分原理。 ２２ 泛函变分提法 １３
32 第2章有限单元法基本原理 2.2.4变分法及其困境 简单地说，变分法就是利用变分原理来求解定解问题的方法。变分原理具 有普遍性，而且它本身并不包含近似。然而，通常人们总是将变分法与近似解联 系在一起，原因何在？现以直接求泛函极值的R也法为例，说明用变分法求近 似解的基本思想及其遭遇的困境。 )Ritz法 在整个求解区域内，将待求解的场函数“表示为含有一族待定参数的试探 函数(trial function),即 u=n+之Na,=gta 2.25) 其中，a是待定参数向量：u0是满足非齐次边界条件的己知函数向量：N是满足 齐次边界条件的己知函数矩阵（即假设的试探函数要满足给定的边界条件）。例 如对于空间问题，位移试探函数具有如下形式 u=o+Na 0=0+N2a2i w=o+之N3a3 =1 i=1 i=1 其中，uo,o,o为边界上已知的位移：N,N2,N3,为在边界上等于零的设定 函数：而a,是3n个待定参数。要保证数值方法的收敛性，N中的函数应取自 完全系列。若将上式写成式2.25)的形式，则 ali U0 「Ni001 N=0N2:0, N=[NI N2 N] 0 N3i 将式2.25)代入泛函表达式，可得用待定参数表示的泛函。调整试探函数 中的待定参数，使其满足泛函的驻值或极值条件，即 =加+a++a 6d=òa3a, =0 (2.26) 因6a:是任意的，故有 on=0 (i=1,2,…,n) 2.27) Da;
２２４ 变分法及其困境 简单地说，变分法就是利用变分原理来求解定解问题的方法。变分原理具 有普遍性，而且它本身并不包含近似。然而，通常人们总是将变分法与近似解联 系在一起，原因何在？现以直接求泛函极值的 Ｒｉｔｚ法为例，说明用变分法求近 似解的基本思想及其遭遇的困境。 （１）Ｒｉｔｚ法 在整个求解区域内，将待求解的场函数ｕ 表示为含有一族待定参数的试探 函数（ｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），即 ｕ ＝ｕ０＋∑ ｎ ｉ＝１ Ｎｉａｉ ＝ｕ０＋Ｎａ （２２５） 其中，ａ是待定参数向量；ｕ０是满足非齐次边界条件的已知函数向量；Ｎ 是满足 齐次边界条件的已知函数矩阵（即假设的试探函数要满足给定的边界条件）。例 如对于空间问题，位移试探函数具有如下形式 ｕ ＝ｕ０＋∑ ｎ ｉ＝１ Ｎ１ｉａ１ｉ， ｖ ＝ｖ０＋∑ ｎ ｉ＝１ Ｎ２ｉａ２ｉ， ｗ ＝ ｗ０＋∑ ｎ ｉ＝１ Ｎ３ｉａ３ｉ 其中，ｕ０，ｖ０，ｗ０为边界上已知的位移；Ｎ１ｉ，Ｎ２ｉ，Ｎ３ｉ为在边界上等于零的设定 函数；而ａｉｊ是３ｎ个待定参数。要保证数值方法的收敛性，Ｎ 中的函数应取自 完全系列。若将上式写成式（２２５）的形式，则 ｕ＝ ｕ 烅ｖ 烄 烆 烍 烌 ｗ烎 ， ｕ０＝ ｕ０ ｖ０ ｗ 烅 烄 烆 烍 烌 ０烎 ， ａｉ＝ ａ１ｉ ａ２ｉ ａ３ 烅 烄 烆 烍 烌 ｉ烎 ， ａ＝ ａ１ … ａ 烅 烄 烆 烍 烌 ｎ烎 Ｎｉ＝ Ｎ１ｉ ０ ０ ０ Ｎ２ｉ ０ ０ ０ Ｎ３ 熿 燀 燄 ｉ燅 ， Ｎ＝［ ］ Ｎ１ Ｎ２ … Ｎｎ 将式（２２５）代入泛函表达式，可得用待定参数表示的泛函。调整试探函数 中的待定参数，使其满足泛函的驻值或极值条件，即 δΠ＝δａＴ ｉ Π ａｉ ＝δａＴ １ Π ａ１ ＋δａＴ ２ Π ａ２ ＋…＋δａＴ ｎ Π ａｎ ＝０ （２２６） 因δａｉ是任意的，故有 Π ａｉ ＝０ （ｉ＝１，２，…，ｎ） （２２７） ２３ 第２章 有限单元法基本原理