18 第1章有限单元法基本程式 求解方法可分为两类，即直接解法（例如高斯消去法、三角分解法、波前法等）和 迭代解法（例如超松弛迭代法、共轭梯度法等）。目前直接解法占主导地位，但在 大型问题中，更多采用的则是迭代解法。必须指出，代数方程组求解的效率在很 大程度上决定着有限元计算的效率，因此方程组解法备受重视。然而，本书不打 算介绍这方面的内容，因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。 求出节点位移后，计算单元应变、单元应力非常简单。事实上，只要按照前 述分析的步骤回代求解即可。 43y 【例题1.3】图1.8所示为一厚度为t的 弹性薄板，其材料的弹性模量为E,泊松比 v=0.2。单位长荷载g,不考虑重力。试计算 3) 弹性体的位移和应力。 解①结构离散化 将结构化分为三个单元，共5个节点，其 图ms州性薄梗 中节点3,4,5为固定边界点。 单元节点局部码与整体码的对应关系 单元号 2 局部码 2 2 2 整体码‖ 1 3 ②单元刚度矩阵 对于单元(1)，可求得A=0.5,b1=0,b2=-1,b3=1,c1=1,c2=-1, c3=0。计算结果表明，三个单元的刚度矩阵相同，即 「0.4 0 -0.4-0.4 0 0.4 0 1 -0.2-10.2 0 k=×-0.410.6 -0.4-0.21.40.6 -1 -0.4 1.4 -0.2 -0.4 0 0.2 -1 -0.2 0 L0.4 0 -0.4-0.4 0 0.4 ③整体刚度方程 kPkS k是 k罗 k+ 0 k k2+k80 k+k2 k K- k出 0 k k2 0 k3+kk2+ k k+k+k k贸 0 k 0 k k
求解方法可分为两类，即直接解法（例如高斯消去法、三角分解法、波前法等）和 迭代解法（例如超松弛迭代法、共轭梯度法等）。目前直接解法占主导地位，但在 大型问题中，更多采用的则是迭代解法。必须指出，代数方程组求解的效率在很 大程度上决定着有限元计算的效率，因此方程组解法备受重视。然而，本书不打 算介绍这方面的内容，因为它们是线性代数课程中介绍的基本部分。 求出节点位移后，计算单元应变、单元应力非常简单。事实上，只要按照前 图１８ 弹性薄板 述分析的步骤回代求解即可。 【例题１３】 图１８所示为一厚度为ｔ的 弹性薄 板，其 材 料 的 弹 性 模 量 为 Ｅ，泊 松 比 ν＝０２。单位长荷载ｑ，不考虑重力。试计算 弹性体的位移和应力。 解 ①结构离散化 将结构化分为三个单元，共５个节点，其 中节点３，４，５为固定边界点。 单元节点局部码与整体码的对应关系 单元号 １ ２ ３ 局部码 １２３１２３１ ２ ３ 整体码 １３４２４５４ ２ １ ②单元刚度矩阵 对于单元（１），可求得 Ａ＝０５，ｂ１＝０，ｂ２＝－１，ｂ３＝１，ｃ１＝１，ｃ２＝－１， ｃ３＝０。计算结果表明，三个单元的刚度矩阵相同，即 Ｋｅ＝ Ｅｔ １９２× ０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４ ０ １ －０２ －１ ０２ ０ －０４ －０２ １４ ０６ －１ －０４ －０４ －１ ０６ １４ －０２ －０４ ０ ０２ －１ －０２ １ ０ 熿 燀 燄 ０４ ０ －０４ －０４ ０ ０４燅 ③整体刚度方程 Ｋ＝ ｋ（１） １１＋ｋ（３） ３３ ｋ（３） ３２ ｋ（１） １２ ｋ（１） １３ ＋ｋ（３） ３１ ０ ｋ（３） ２３ ｋ（２） １１ ＋ｋ（３） ２２ ０ ｋ（２） １２ ＋ｋ（３） ２１ ｋ（２） １３ ｋ（１） ２１ ０ ｋ（１） ２２ ｋ （１） ２３ ０ ｋ（１） ３１ ＋ｋ（３） １３ ｋ（２） ２１ ＋ｋ（３） １２ ｋ （１） ３２ ｋ （１） ３３ ＋ｋ （２） ２２ ＋ｋ （３） １１ ｋ （２） ２３ ０ ｋ（２） ３１ ０ ｋ（２） ３２ ｋ（２） 熿 燀 燄 ３３ 燅 ８１ 第１章 有限单元法基本程式
题 19 由于节点3,4,5固定，因此只需给出与节点1,2有关的整体刚度矩阵 [1.4 0 -1 -0.27 l41 0 1.4-0.4 0.4 -1-0.41.8 0.6 -0.20.40.6 2.4 0 ④未知量计算 a=[u11u2 Jr=是D.53590.52921.5748 -0.2772]1 为求解单元应力，需据此形成单元节点位移向量。例如，对于单元(1)，有 a=w110000r=2D.53590.5290000 单元应力为 cD=g[0.11030.55131.0566]J 1.6结 语 从物理角度看，有限单元法将连续体问题转化成了离散体问题：从数学角度 看，有限单元法将微分方程问题转化为代数方程问题。结果，无限自由度问题变 成了有限自由度问题。 本章基于虚位移原理推导了位移法有限元公式，关于虚位移原理的证明见 第2章。必须指出，单元刚度方程(1.17)、单元刚度矩阵(1.18)、体力等效节点 荷载(1.19)、面力等效节点荷载(1.20)以及整体刚度方程(1.21)均具有普遍性。 在第2章中，将根据势能变分原理重新推导它们，以加深对有限单元法基本原理 的理解。 习题 1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由 度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化 程式是怎样的？ 1.2什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力 的概念？ 1.3单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度 系数的物理意义是什么？两者有何区别？ 1.4如图所示的有限元网格中，节点应如何编号，以使得整体刚度矩阵的半带
由于节点３，４，５固定，因此只需给出与节点１，２有关的整体刚度矩阵。 Ｅｔ １９２× １４ ０ －１ －０２ ０ １４ －０４ ０４ －１ －０４ １８ ０６ 熿 燀 燄 －０２ ０４ ０６ ２４燅 ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ 烅 烄 烆 烍 烌 ２烎 ＝ｑｔ烅 烄 烆 烍 烌 烎 １ ０ ０ ０ ④未知量计算 ａ＝［ｕ１ ｖ１ ｕ２ ｖ２］Ｔ＝ｑ Ｅ ［２５３５９ ０５２９２ １５７４８ －０２７７２］Ｔ 为求解单元应力，需据此形成单元节点位移向量。例如，对于单元（１），有 ａ（１） ＝［ｕ１ ｖ１ ０ ０ ０ ０］Ｔ＝ｑ Ｅ ［２５３５９ ０５２９２ ０ ０ ０ ０］Ｔ 单元应力为 σ（１） ＝ｑ［０１１０３ ０５５１３ １０５６６］Ｔ １６ 结 语 从物理角度看，有限单元法将连续体问题转化成了离散体问题；从数学角度 看，有限单元法将微分方程问题转化为代数方程问题。结果，无限自由度问题变 成了有限自由度问题。 本章基于虚位移原理推导了位移法有限元公式，关于虚位移原理的证明见 第２章。必须指出，单元刚度方程（１１７）、单元刚度矩阵（１１８）、体力等效节点 荷载（１１９）、面力等效节点荷载（１２０）以及整体刚度方程（１２１）均具有普遍性。 在第２章中，将根据势能变分原理重新推导它们，以加深对有限单元法基本原理 的理解。 习 题 １１ 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由 度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限单元法的标准化 程式是怎样的？ １２ 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力 的概念？ １３ 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度 系数的物理意义是什么？两者有何区别？ １４ 如图所示的有限元网格中，节点应如何编号，以使得整体刚度矩阵的半带 习 题 ９１
20 第1章有限单元法基本程式 宽最小？ 题1.4图 题1.5图 1.5如图所示，某单元12边上作用均布压力p。该边长为1，与x轴的夹角为 a,单元厚度为t。试计算单元等效节点荷载向量P。 答案：P。=(plt/2)[sina -cosa sina-cosa 00 =t/2)[y3-Mx1-x33-yx1-x300] 1.6什么是形函数？试证明T;单元的形函数满足 1 i=j N,Gy)=0i≠ N1+N2+N3=1 1.7试证明直角坐标可用形函数表示为 y-No 1.8图示为一固端深梁受集中力P作用。材料的弹性模量为E,泊松比 y=1/6,梁的厚度t=1。试用T3单元求节点位移。 答案：v1=-1.3678P/E, v2=-0.9655PE。 题1.8图
宽最小？ 题１４图 题１５图 １５ 如图所示，某单元１２边上作用均布压力ｐ。该边长为ｌ，与ｘ轴的夹角为 α，单元厚度为ｔ。试计算单元等效节点荷载向量Ｐｅ ｐ。 答案：Ｐｅ ｐ ＝（ｐｌｔ／２）［ｓｉｎα －ｃｏｓα ｓｉｎα －ｃｏｓα ０ ０］Ｔ ＝（ｐｔ／２）［ｙ３－ｙ１ ｘ１－ｘ３ ｙ３－ｙ１ ｘ１－ｘ３ ０ ０］Ｔ １６ 什么是形函数？试证明Ｔ３单元的形函数满足 Ｎｉ （ｘｊ，ｙｊ）＝ １ ｉ＝ｊ ｛０ ｉ≠ｊ ， Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３＝１ １７ 试证明直角坐标可用形函数表示为 ｘ ＝ ∑ ３ ｉ＝１ Ｎｉｘｉ， ｙ＝ ∑ ３ ｉ＝１ Ｎｉｙｉ １８ 图示为一固端深梁受集中力 Ｐ 作用。材料的弹性模量为 Ｅ，泊松比 ν＝１／６，梁的厚度ｔ＝１。试用Ｔ３单元求节点位移。 答案：ｖ１＝－１３６７８Ｐ／Ｅ， ｖ２＝－０９６５５Ｐ／Ｅ。 题１８图 ０２ 第１章 有限单元法基本程式
第2章 有限单元法基本原理 结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第1章以弹性力学 平面问题为例，阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏 系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述有限 单元法的基本原理，内容包括：①)介绍定解问题的微分方程提法：2)根据微分 方程的等效积分形式，推导第1章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分 原理，从而建立定解问题的泛函变分提法：3)基于势能变分原理推导位移有限 单元法的普遍公式，并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明：(4)基于余 能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。 在本章的阐述中，仍以结构分析课题为例，但所有方面的论述均以一般性说 明为先导。 2.1微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量，它们在 一定区域内满足某些控制方程：在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始 条件，它们统称为定解条件：控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程 或数学模型，这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提 法。 为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力 学模型等，它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念，然后给出 定解问题微分方程提法的一般形式，最后列出弹性力学问题的微分方程。 2.1.1结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以 建构分析模型：而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制 条件和参数的正确反映
第 ２章 有限单元法基本原理 结构分析是有限单元法最早、也是最广泛应用的领域。第１章以弹性力学 平面问题为例，阐释了有限单元法的基本内容。这样的介绍具有直观性，但缺乏 系统性和深刻性。为加深对有限单元法的理解，本章将系统而深入地阐述有限 单元法的基本原理，内容包括：（１）介绍定解问题的微分方程提法；（２）根据微分 方程的等效积分形式，推导第１章中未加证明而应用的虚位移原理及势能变分 原理，从而建立定解问题的泛函变分提法；（３）基于势能变分原理推导位移有限 单元法的普遍公式，并对位移有限元解的性质和收敛性作简要说明；（４）基于余 能变分原理推导应力有限单元法的基本公式。 在本章的阐述中，仍以结构分析课题为例，但所有方面的论述均以一般性说 明为先导。 ２１ 微分方程提法 在物理或工程问题中，位移、应力、温度、电流等物理量称为场变量，它们在 一定区域内满足某些控制方程；在域边界上满足给定的边界条件，有时还有初始 条件，它们统称为定解条件；控制方程和定解条件构成所谓定解问题的微分方程 或数学模型，这种以微分方程形式提出问题的方法称为定解问题的微分方程提 法。 为了获得数学模型，必须引入某些前提假设以建构几何模型、物理模型或力 学模型等，它们统称为分析模型。本节首先简要介绍分析模型的概念，然后给出 定解问题微分方程提法的一般形式，最后列出弹性力学问题的微分方程。 ２１１ 结构分析模型 对任何复杂事物的研究，出发点都是对事物进行逼真而又可行的理想化以 建构分析模型；而结果的可靠性和实用价值主要取决于确立模型时对各种控制 条件和参数的正确反映
22 第2章有限单元法基本原理 何谓模型？待分析的事物称为原型，其理想化的替代物就是模型。任何模 型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造出来的。 原型有各方面的因素和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的 那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特征，而 什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关（文献83）。 从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的数值方法，即在物理或工程问题 的数学模型之基础上进行近似计算。因此，有限元计算的精度并不意味着实际 问题求解的精度。在采用有限单元法解题时，必须时刻牢记：问题的分析模型具 有根本的重要性。 现以结构分析问题为例，说明分析模型的基本概念。结构设计的核心任务 在于求解结构在外部荷载作用下产生的应力和变形。这些荷载效应取决于结构 类型、几何特征、材料性能、荷载条件等因素。在结构分析中，用于代替实际结构 并能反映结构主要受力和变形特点的理想模型称为结构分析模型，主要有几何 模型、力学模型、数学模型等。 从广义上理解，“结构”包括各种建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构 机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩等各种物体。任何结构及其构件都是 三维实体，但是在结构分析中，对某些特殊结构可以做出简化处理，并使得分析 更加有效。根据这种原则，人们将常见的结构分为杆系结构、薄壁结构和实体结 构（图2.1）。杆系结构就是若干个杆件通过若干个节点相互联结而组成的结构 体系。杆件的特点是横截面尺寸远比其杆长小得多。薄壁结构是厚度远小于其 他两个尺度的结构。如果结构的三个方向上尺度大约为同一量级，则称为实体 结构。在结构的几何与力学模型中，还需对结构的空间形式（平面结构、轴对称 结构、空间结构)、构件之间的连接形式（铰接、刚接或半刚接）、构件力学作用形 式（拉压、弯曲、扭转）等做出抽象。 (@)杆系结构 图2.10著嚮镬整 (©)薄壁结构 数学模型主要是指基于力学模型得到的控制方程，其是否符合实际关键在 于力学模型中引入的基本假定。例如，结构变形属于小变形还是大变形：材料是 线性弹性的还是非线性的。这些力学假定将反映到控制方程中，例如在线性弹 性小变形假设下，几何方程和本构方程都将是线性的
何谓模型？待分析的事物称为原型，其理想化的替代物就是模型。任何模 型都是为了某种特定目的而将原型的某些特征信息简缩、提炼而构造出来的。 原型有各方面的因素和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的 那些因素和层次。模型成功的关键是必须反映原型事物的主要属性和特征，而 什么是主要属性和特征则与我们所关注的问题有关（文献８３）。 从本质上讲，有限单元法是求解微分方程的数值方法，即在物理或工程问题 的数学模型之基础上进行近似计算。因此，有限元计算的精度并不意味着实际 问题求解的精度。在采用有限单元法解题时，必须时刻牢记：问题的分析模型具 有根本的重要性。 现以结构分析问题为例，说明分析模型的基本概念。结构设计的核心任务 在于求解结构在外部荷载作用下产生的应力和变形。这些荷载效应取决于结构 类型、几何特征、材料性能、荷载条件等因素。在结构分析中，用于代替实际结构 并能反映结构主要受力和变形特点的理想模型称为结构分析模型，主要有几何 模型、力学模型、数学模型等。 从广义上理解，“结构”包括各种建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、 机械设备、堤坝边坡、建筑地基、洞室围岩等各种物体。任何结构及其构件都是 三维实体，但是在结构分析中，对某些特殊结构可以做出简化处理，并使得分析 更加有效。根据这种原则，人们将常见的结构分为杆系结构、薄壁结构和实体结 构（图２１）。杆系结构就是若干个杆件通过若干个节点相互联结而组成的结构 体系。杆件的特点是横截面尺寸远比其杆长小得多。薄壁结构是厚度远小于其 他两个尺度的结构。如果结构的三个方向上尺度大约为同一量级，则称为实体 结构。在结构的几何与力学模型中，还需对结构的空间形式（平面结构、轴对称 结构、空间结构）、构件之间的连接形式（铰接、刚接或半刚接）、构件力学作用形 式（拉压、弯曲、扭转）等做出抽象。 图２１ 结构模型 数学模型主要是指基于力学模型得到的控制方程，其是否符合实际关键在 于力学模型中引入的基本假定。例如，结构变形属于小变形还是大变形；材料是 线性弹性的还是非线性的。这些力学假定将反映到控制方程中，例如在线性弹 性小变形假设下，几何方程和本构方程都将是线性的。 ２２ 第２章 有限单元法基本原理