Ch18含参量广义积分 计划课时:6时 P233244 2005.10.29 Ch18含参量广义积分(6时) §1含参无穷积分 含参无穷积分: 含参无穷积分:函数∫(x,y)定义在[a,b]×[c,+∞)上([a,b]可以是 无穷区间)以/(x)=「(xy)b为例介组含参无穷积分表示的函数(x) 2.含参无穷积分的一致收敛性 逐点收敛(或称点态收敛)的定义:x∈[a,b],VE>0,彐M>c,使 f(x,y)l小< 引出一致收敛问题 定义(一致收敛性)设函数∫(x,y)定义在[a,b]×[c,+∞)上.若对 >0,3M>c,使[f(xy)<s对vx∈[a,b]成立,则称含参无 穷积分f(xy)在a,b1(关于x)致收敛 Th1( Cauchy收敛准则)积分l(x)=f(x,y)d在[a,b]上一致收 敛,分VE>0,彐M>0,VA1,A2>M f(x,y)<E对 vx∈[a,b]成立 SInx 例1证明含参量非正常积分 d在[δ,+∞)上一致收敛,其中δ>0 但在区间(0,+)内非一致收敛 3.含参无穷积分与函数项级数的关系: Ih2积分1(x)=「f(x,y)在[a,b]上一致收敛,对任一数列
Ch 18 含参量广义积分 计划课时： 6 时 P 233—244 2005. 10 .29. Ch 18 含参量广义积分 (6 时 ) § 1 含参无穷积分 一. 含参无穷积分: 1． 含参无穷积分: 函数 yxf ),( 定义在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 ( 可以是 无穷区间 ). 以 为例介绍含参无穷积分表示的函数 . ba ] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI xI )( 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: x ∈∀ ba ] , [ , ∀ε > ∃ , 0 > cM , 使 < ε ∫ +∞ M ),( dyyxf . 引出一致收敛问题 . 定 义 (一致收敛性 ) 设函数 定义在 yxf ),( × cba + ∞ ) , [] , [ 上. 若对 ε , 0 >∃>∀ cM , 使 < ε ∫ +∞ M ),( dyyxf 对 ∀x ∈ ba ] , [ 成立, 则称含参无 穷积分 ∫ 在 ( 关于 +∞ c ),( dyyxf ba ] , [ x )一致收敛. Th 1 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 在 上一致收 敛 , ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ⇔ 21 ε ∀>∃>∀ , , 0 , 0 AAM M ⇒> , < ε ∫ 2 1 ),( A A dyyxf 对 x ∈∀ ba ] , [ 成立 . 例 1 证明含参量非正常积分 ∫ +∞ 0 sin dy y xy 在 δ + ∞ ) , [ 上一致收敛 , 其中δ > 0 . 但在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系: Th 2 积分 在 上一致收敛, ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ⇔ 对任一数列
A,}(4=c,4)+∞,函数项级数∑ f(x=2n(x)在[a 上一致收敛 含参无穷积分一致收敛判别法: Weierstrass m判别法:设有函数g(y),使在[a,b]×[c,+∞)上有 1f(x,y)卜g(y).若积分[g(y)<+∞,则积分[f(x,y)d在[a,b 致收敛 例2证明含参无穷积分cx在-<y<+内一致收敛 2. Dirichlet判别法和Abe判别法 三.一致收敛积分的解析性质:含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质 连续性:积分号下取极限定理 Th3设函数f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续若积分 1(x)=「f(xy)在a,b1上一致收敛,则函数1(x)在a,b]上连续(化 为级数进行证明或直接证明) 系在Th3的条件下,对x∈[a,b],有 limb/(x, y)dy=/(o, y)dy=( lim f(x, y) ay 2.可微性:积分号下求导定理 Th4设函数∫和f在[a,b]×[c,+∞)上连续若积分/(x)=「f(x,y)b 在[a,b1上收敛,积分f(x,y)在[a,b一致收敛则函数I(x)在[a,b 上可微且(x)=f(x,y) 3.可积性:积分换序定理 Th5设函数fx,y在[a,b]×{c,+∞)上连续若积分/(x)=「f(xy) 在[a,b]上一致收敛,则函数(x)在[a,b]上可积,且有 rdo"f(, y)dy=" dyr'f(,y)a 关于在[a,+∞)×[c,+∞)上的积分换序问题 例3计算积分 bx-sin ax dx,(p>0,b>a)
}{An )( 1 = cA , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. An ∞+ ∑∫ ∑ ∞ = ∞ = + = 1 1 1 )(),( n A A n n n n xudyyxf ba ] , [ 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法 : 设有函数 yg )( , 使 在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. ≤ ygyxf )(|),(| ∞+< ∫ +∞ )( c dyyg ∫ +∞ c ),( dyyxf ba ] , [ 例 2 证明含参无穷积分 ∫ ∞+ 0 + 2 1 cos dx x xy 在 − ∞ < y < +∞ 内一致收敛. 2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法: 三. 一致收敛积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理. Th 3 设函数 yxf ),( 在 × cba + ∞ ) , [] , [ 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ xI )( ba ] , [ 系 在 Th 3 的条件下 , 对 x0 ∈∀ ba ] , [ , 有 ∫∫ ∫ + ∞ ∞ + ∞+ → → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = xx cc c xx ),(),(lim dyyxfdyyxf dyyxf .),(lim 0 0 0 2. 可微性: 积分号下求导定理. Th 4 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微,且 . f x f cba ∞+× ) , [] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ ∫ +∞ c x ),( dyyxf ba ] , [ xI )( ba ] , [ ∫ +∞ ′ = c x ),()( dyyxfxI 3. 可积性: 积分换序定理. Th 5 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且有 yxf ),( cba ∞+× ) , [] , [ ∫ +∞ = c ),()( dyyxfxI ba ] , [ xI )( ba ] , [ . ∫∫ ∫ ∫ +∞ +∞ = b a c c b a ),( ),( dyyxfdydyyxfdx 关于在 ca ∞+×∞+ ) , [) , [ 上的积分换序问题. 例 3 计算积分 ∫ ∞+ − >> − = 0 ) , 0 ( , sinsin abpdx x axbx eI px 247
四、含参瑕积分简介: ExP244-245. §2 euler积分(4时) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即r(s)和B(P,q).它们统称为 Eler积分.在积分计算等方面,它们是很有用的两个特殊函数 Gumm函数r(s)- Euler第二型积分: 1. Gamma函数:考虑无穷限含参积分 x e (s>0) 当0<s<1时,点x=0还是该积分的瑕点因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 s≥1时为正常积分0<s<1时,xex>0.利用非负函数积的 Cauchy判别法,注意到imx(xe-x)=1,1-s<1,→0<s<1时积分 收敛.(易见S=0时,仍用 Cauchy判别法判得积分发散).因此,s>0时积 分收敛 x2·xex=x"e-x→0,(x→+∞)对Vs∈R成立因此积 分对s∈R收敛 综上,5>0时积分xe收敛,称该积分为Edr第二型积分.Edr 第二型积分定义了S∈(0,+∞)内的一个函数,称该函数为Gamm函数,记为 r(s),即 Ts dx (s>0) 一函数是一个很有用的特殊函数 2.T-函数的连续性和可导性 r(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛.这是因为s=0时积分发散.这里利用了 下面的结果:若含参广义积分在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分 在(a,b]内非一致收敛(证明参阅:复旦教案90-4-17和18(合)P368E1) 但r(s)在区间(0,+∞)内闭一致收敛即在任何[a,b]c(0,+∞)上,r(S)
四、 含参瑕积分简介: Ex P244—245. § 2 Euler 积分 ( 4 时 ) 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即Γ s)( 和 . 它们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. qpB ),( 一. Gamma 函数Γ s)( —— Euler 第二型积分： 1. Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分 , ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( 当 时 , 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . s << 1 0 x = 0 ∫∫ +∞ + 1 1 0 ∫ 1 0 : 时为正常积分 . 时, .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 s ≥1 s << 1 0 0 1 > −− xs ex , 11 , 1) (lim 1 1 0 ⇒<−= −−− +→ exx s xss x < s <1 0 时积分 收敛 . (易见 时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 时积 分 收敛 . ∫ 1 0 s = 0 s > 0 ∫ 1 0 ∫ +∞ 1 : ) ( , 0 对 12 1 −− exexx −+ xsxs →=⋅ x +∞→ ∀s ∈R 成立,.因此积 分 对 R 收敛. ∫ +∞ 1 s ∈∀ 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 s > 0 ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s ∈ + ∞ ) , 0 ( 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 Γ s)( , 即 Γ s)( = , . ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs s > ) 0 ( −Γ 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. −Γ 函数的连续性和可导性: Γ s)( 在区间 内非一致收敛 ∞+ ) , 0 ( . 这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用了 下面的结果: 若含参广义积分在 ∈ bay ] , ( 内收敛, 但在点 = ay 发散, 则积分 在 内非一致收敛 ba ] , ( .( 证明参阅: 复旦教案 − −17490 和 18(合) P368 E1.) 但 Γ s)( 在区间 内闭一致收敛 ∞+ ) , 0 ( .即在任何 ba ],[ ⊂ + ∞ ) , 0 ( 上 , Γ s)( 248
致收敛因为0<a<b时,对积分,有xe≤x“e,而积分 [x“cdk收敛对积分,xesx'e-,而积分「x~c收敛 由M一判法它们都一致收敛→积分。x2d在区间[ab上一致收敛 作类似地讨论,可得积分(xe)dx也在区间(0,+∞)内闭一致收敛 于是可得如下结论: I(s)的连续性:I(s)在区间(0,+∞)内连续 I(s)的可导性:r(s)在区间(0,+∞)内可导,且 T'(s)=2(x-e- )dr=Dx-le"In xdx 同理可得:I(s)在区间(0,+∞)内任意阶可导,且 (s)=x-e(Inx)"dx 3.凸性与极值: r(s)="xe(lnx)2dx>0,→I()在区间(0,+)内严格下凸 r(1)=I(2)=1(参下段) r(s)在区间(0,+∞)内唯一的极限小 值点(亦为最小值点)介于1与2之间 4.(s)的递推公式T一函数表 r(s)的递推公式:r(s+1)=sI(s),(s>0). 证(s+1)=xedk=-x(e)h= x'eo +sh x-le"dx=sx"'e"dr=sr(s) r(=x-e"da 于是,利用递推公式得 r(2)=I(1+1)=(1)=1 r(3)=I(2+1)=2r(2)=21=21, r(4)=I(3+1)=3I(3)=3·2!=3!, 般地有r(n+1)=nI(n)=n(n-1)r(n-1) 可见,在Z上,I(S)正是正整数阶乘的表达式.倘定义s!=I(s+1),易见
一致收敛. 因 为 时 , 对积分 , 有 , 而积分 收敛.对积分 , , 而积分 收敛. 由 M—判法,它们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . 0 << ba ∫ 1 0 xaxs exex −− −− ≤ 1 1 ∫ −− 1 0 1 dxex xa ∫ +∞ 1 xbxs exex −− −− ≤ 1 1 ∫ +∞ −− 1 1 dxex xb ⇒ ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs ba ],[ 作类似地讨论, 可得积分 s dxex 也在区间 xs )( 1 0 ′ −− +∞ ∫ + ∞ ) , 0 ( 内闭一致收敛. 于是可得如下结论: Γ s)( 的连续性: Γ s)( 在区间 内连续 ∞+ ) , 0 ( . Γ s)( 的可导性: Γ s)( 在区间 内可导 ∞+ ) , 0 ( , 且 ∫ ∫ + ∞ ∞ + −− −− = ∂ ∂ ′ =Γ 0 0 1 1 )()( ln dxxexdxex s s xs xs . 同理可得: Γ s)( 在区间 内任意阶可导 ∞+ ) , 0 ( , 且 . ∫ +∞ −− =Γ 0 )( 1 )( ) ln ( dxxexs n xs n 3. 凸性与极值: )( 0) ln ( 2 0 1 ′′ =Γ > ∫ +∞ −− dxxexs xs , ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内严格下凸. =Γ=Γ 1)2()1( ( 参下段 ), ⇒ Γ s)( 在区间 + ∞ ) , 0 ( 内唯一的极限小 值点( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. Γ s)( 的递推公式 Γ − 函数表: Γ s)( 的递推公式 : Γ=+Γ ssss > ) 0 ( ),()1( . 证 ∫ ∫ +∞ +∞ − − =+Γ −= ′ = 0 0 )1( )( dxexdxexs xs xs ∫ ∫ +∞ +∞ ∞+− −− −− +−= = Γ= 0 0 1 1 0 ssdxexsdxexsex )( xs xs xs . ∫ ∫ +∞ +∞ −− − =Γ = = 0 0 11 )1( dxedxex 1 x x . 于是, 利用递推公式得: =Γ=+Γ=Γ 1)1(1)11()2( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 212)2(2)12()3( , =⋅=Γ=+Γ=Γ ! 3! 23)3(3)13()4( , …………, , 一般地有 Γ−=Γ=+Γ nnnnnn − = " = n! )1()1()()1( . 可见 , 在 + Z 上, Γ s)( 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 = Γ ss + )1(! , 易见 249
对s>-1,该定义是有意义的因此,可视r(s+1)为(-1,+∞)内实数的阶乘 这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-1,+∞)内的所有实数上 于是,自然就有0=r(0+1)=I(1)=1,可见在初等数学中规定0!=1是很合理的 一函数表:很多繁杂的积分计算问题可化为r一函数来处理.人们仿三角函数 表、对数表等函数表,制订了r一函数表供查.由r一函数的递推公式可见,有 了r一函数在0<s<1内的值,即可对vs>0,求得I(s)的值.通常把 1.00≤s≤2.00内r一函数的某些近似值制成表,称这样的表为r一函数表(如 北京矿业学院编《数学手册》1973年版P308-309.也有在0<S≤1.00内编制 的r-函数表) 5.r-函数的延拓:>0时,r(s+1)=sr(s,→rs)=(s+1D.该式 S 右端在-1<s<0时也有意义.用其作为-1<s<0时r(s)的定义,即把r(s) 延拓到了(-1,0)∪(0,+∞)内-2<s<-1时,依式I(s)= r(S+1) 用延拓后的r(s),又可把I(s)延拓到(-2,-1)(-1,0)(0,+∞)内依 此,可把r(S)延拓到(-∞,+∞)内除去x=-n(n=0,1,2,…)的所有点经 过如此延拓后的r(s)的图象如[1]P347图表21-4 例1求r(4.85),I(0.85),I(-2.15).(查表得r(185)=094561) 解 r(4.85)=385(3.85)=3.85×2.85I(285)=3.85×285×1.85(1.85)= =3.85×2.85×1.85×0.94561=19.19506 r(1.85)=0.85r(0.85)→ r(0.85) r(1.85)0.94561 0.85 0.851.11248 r(-2.15)= (-0.15) r(085) 2.15-1.152.15×1.15-0.15 0.94561 -2.54967 2.15×1.15×0.15 6.一函数的其他形式和一个特殊值 某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为r一函数.倘能如此,可查r一 函数表求得该积分的值 常见变形有: i>令x=p(P>0),有I( = p dt,因此, 250
对 s −> 1,该定义是有意义的. 因此, 可视 Γ s + )1( 为 − + ∞ ) , 1 ( 内实数的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 − + ∞ ) , 1 ( 内的所有实数上, 于是,自然就有 +Γ= = =Γ 1)1()10(!0 , 可见在初等数学中规定 = 1!0 是很合理的. −Γ 函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为Γ − 函数来处理. 人们仿三角函数 表、对数表等函数表, 制订了 −Γ 函数表供查. 由Γ − 函数的递推公式可见, 有 了 −Γ 函数在 内的值 s << 10 , 即可对 ∀s > 0 , 求得 Γ s)( 的值. 通常把 s ≤≤ 00.200.1 内 函数的某些近似值制成表 −Γ , 称这样的表为Γ − 函数表 ( 如 北京矿业学院编《数学手册》1973 年版 P308—309. 也有在 < s ≤ 00.10 内编制 的 函数表 −Γ .) 5. −Γ 函数的延拓: s > 0 时, +Γ = Γ sss ),()1( ⇒ . )1( )( s s s Γ + =Γ 该式 右端在 s <<− 01 时也有意义 . 用其作为 − < s < 01 时Γ s)( 的定义, 即把Γ s)( 延拓到了 +∪− ∞ ) , 0 () 0 , 1( 内. <− s < −12 时, 依式 s s s )1( )( Γ + =Γ , 利 用延拓后的 Γ s)( , 又可把 Γ s)( 延拓到 ( ) − − ) 1 , 2 ∪ − ∪ + ∞ , 0 () 0 , 1( 内 .依 此 , 可把 延拓到 Γ s)( ∞+∞− ) , ( 内除去 = − nnx = ") , 2 , 1 , 0 ( 的所有点. 经 过如此延拓后的 的图象如 Γ s)( [1] P347 图表 21—4. 例 1 求Γ ) 85.4 ( , , Γ ) 85.0 ( −Γ ) 15.2 ( . ( 查表得Γ ) 85.1 ( = 94561.0 .) 解 Γ ) 85.4 ( Γ×=Γ= = × × Γ )85.1(85.185.285.3)85.2(85.285.3)85.3(85.3 = ×××= = 19506.1994561.085.185.285.3 . Γ=Γ )85.0(85.0) 85.1 ( ⇒ 11248.1 85.0 94561.0 85.0 )85.1( ) 85.0 ( == Γ =Γ . = − Γ × = − Γ − ⋅ − = − −Γ =−Γ 15.0 )85.0( 15.115.2 1 15.1 )15.0( 15.2 1 15.2 )15.1( ) 15.2 ( 54967.2 15.015.115.2 94561.0 −= ×× −= . 6. −Γ 函数的其他形式和一个特殊值: 某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 Γ − 函数 . 倘能如此, 可查Γ − 函数表求得该积分的值. 常见变形有: ⅰ> 令 pptx >= )0( , 有 Γ s)( = ,因此, ∫ +∞ −− 0 1 dxex xs ∫ +∞ −− = 0 1 dtetp ptss 250