小波分析讲义 2003年春 参考书籍 I Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992 2. S Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998 3.Y. Meyer,小波与算子,第一卷,世界图书出版社,1992 4.龙瑞麟,高维小波分析,世界图书出版社,1995 5.关肇直,张慕庆,冯德兴,线性泛函分析入门,上海科学技术出版社,1979 第一章准备知识 本章将介绍一些必要的准备知识。第一节为 Hilbert空间中基的概念,第二节为线性算子的 定义,第三节为有关积分的性质,第四节将介绍框架与 Riesz基 1. Banach空间与 Hibert空间 设X为数域K上的线性空间,若函数u:X→R+满足如下三个条件 1.三角不等式:u(x+y)≤u(x)+u(y),r,y∈X, 2.齐次性:u(ar)=|alu(x),va∈K,x∈X, 3.正定性:(x)=0兮x=0 则称ω为X上的赋范函数,X为线性赋范空间。通常记ω(x)=‖x‖,并称之为元素x的范数 完备性:若{x}CX为 Cauchy列,即对ve>0,N=N(e),使得当j,l>N时有|x;-l< e,则{x}有极限 Banach空间:完备的线性赋范空间称为 Banach空间 1
小波分析讲义 2003年春 参考书籍 1. I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, Siam, Philadelphia, PA 1992. 2. S. Mallat, A wavelet tour to signal processing, Academic Press, Boston, 1998. 3. Y. Meyer, 小波与算子，第一卷，世界图书出版社，1992. 4. 龙瑞麟，高维小波分析，世界图书出版社，1995。 5. 关肇直,张慕庆,冯德兴, 线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979. 第一章 准备知识 本章将介绍一些必要的准备知识。第一节为Hilbert空间中基的概念，第二节为线性算子的 定义，第三节为有关积分的性质，第四节将介绍框架与Riesz基。 1. Banach空间与Hibert空间 设X为数域K上的线性空间，若函数ω：X → R +满足如下三个条件： 1. 三角不等式：ω(x + y) ≤ ω(x) + ω(y), ∀x, y ∈ X, 2. 齐次性：ω(αx) = |α| ω(x), ∀α ∈ K, x ∈ X, 3. 正定性：ω(x) = 0 ⇔ x = 0, 则称ω为X上的赋范函数，X为线性赋范空间。通常记ω(x)= kxk，并称之为元素x的范数。 完备性：若{xj} ⊂ X 为Cauchy列，即对∀² > 0, ∃N = N(²), 使得当j, l > N时有kxj − xlk < ², 则{xj}有极限. Banach空间: 完备的线性赋范空间称为Banach空间。 1
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 例:LP(B)(1≤P≤∞).设∫在R上可测,且 +∞ / f(x)Pdx<+∞,当1≤p<∞或 esssupreR|Jf(x) p=+ 则称f∈LP(R).它是完备的 Banach空间,其元素∫的范数可定义为 ∫|f(a)Pdr),1≤p<∞, esssupreR|f(x)l,p=+∞ 一些不等式:设f,g∈LP(R) a) Minkowski不等式 f+gll≤‖fp+‖g|,P≥1 b) Holder不等式 Fall1≤‖flp·‖g‖g,=+ 1=1,P≥1,q>1 p q c) Cauchy- Schwarz不等式(即p=q=2时的 Holder不等式) fall1≤‖f2·|g|2 内积:设X为数域K上的线性空间,函数u:X×X→K,若下列三个条件满足 (i)w(a,y)=w(y, ) V,yE X, (ii)w(a.+ By, 2)=aw(a, a)+Bw(y, 2), V, 1, zE X,a, BEK, i)lu(x,x)≥0,且(x,x)=0当且仅当x=0 则称函数u为X上的内积函数。此时称X为内积空间。常记<x,y>=u(x,y).它是欧氏空间 中两向量间内积的推广。 Hilbert空间:完备的内积空间称为 Hilbert空间 练习:证明内积函数√ω(x,x)是一赋范函数 例 1)P(Z)={f:f=()=,∑P<+∞)内积为<f,9>=∑所 2)L2(R),内积为<f,g>=∫f(x)9(a)d
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 2 例：L p (R)(1 ≤ p ≤ ∞). 设f在R上可测，且 Z +∞ −∞ |f(x)| p dx < +∞, 当1 ≤ p < ∞ 或 esssupx∈R |f(x)| < +∞, 当p = +∞. 则称f ∈ L p (R). 它是完备的Banach空间，其元素f的范数可定义为： kfkp = µ + R∞ −∞ |f(x)| p dx¶1 p , 1 ≤ p < ∞, esssupx∈R|f(x)|, p = +∞. 一些不等式：设f, g ∈ L p (R) a) Minkowski不等式: kf + gkp 6 kfkp + kgkp, p > 1. b) H¨older不等式: kfgk1 6 kfkp · kgkq, 1 p + 1 q = 1, p ≥ 1, q ≥ 1. c) Cauchy-Schwarz不等式（即p = q = 2时的H¨older不等式): kfgk1 ≤ kfk2 · kgk2. 内积: 设X为数域K上的线性空间，函数ω : X × X −→ K, 若下列三个条件满足： (i) ω(x, y) = ω(y, x), ∀x, y ∈ X, (ii) ω(αx + βy, z) = αω(x, z) + βω(y, z), ∀x, y, z ∈ X, α, β ∈ K, (iii) ω(x, x) ≥ 0, 且ω(x, x) = 0当且仅当x = 0 则称函数ω为X上的内积函数。此时称X为内积空间。常记< x, y >= ω(x, y). 它是欧氏空间 中两向量间内积的推广。 Hilbert空间: 完备的内积空间称为Hilbert空间. 练习：证明内积函数 p ω(x, x)是一赋范函数. 例： 1) l 2 (Z) = {f : f = (fj ) +∞ j=−∞, P j∈Z |fj | 2 < +∞}. 内积为< f, g >= P j∈Z fjgj . 2) L 2 (R),内积为< f, g >= R +∞ −∞ f(x)g(x)dx
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 我们仅考虑可分的 Hilbert空间(也即它有可数的稠密子集)。(关于不可分 Hilbert空间 的例,可参考文献5的p152) 正交性:若(f,9)=0,则称f与g正交 单位矢量:若f=1,则称f为单位矢量。 标准正交系:设Ⅰ为可数指标集{e}erCX,若 Vk,l∈I 则称{e}er为标准正交系 Bessel/等式:对任意标准正交系{e3}in,#(1)<+∞和任意x∈X,有 ∑|x,e)}≤|z‖2 j∈I x-∑n(x,en z2-∑n{x,en}(en,x)-∑(x,en)(x,en)+∑(,en)(x,ek)(xn,ek) =|z|2-2∑|(x,en)2+∑(x,en)(x,ek)nk 练习:证明|(:s|: v,y∈X 推论:若{e}1为标准正交系,则无穷级数 ∑ 收敛(自证:正项级数,有上界 从 bessel-不等式推得 <x,e>|2≤|z‖ 上式有可能是真的不等式(练习:举例)。若等式成立,由Beel不等式的证明,我们 有 <x,e>→0(n→∞)。即有 当(2)成立时,称{e}1为 Hilbe空间X的标准正交基 定理1:标准正交系{e}=1为x的基的充分必要条件是: 0,j=1,2
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 3 我们仅考虑可分的Hilbert空间（也即它有可数的稠密子集）。（关于不可分Hilbert空间 的例，可参考文献5 的p.152）。 正交性: 若hf, gi = 0，则称f与g正交。 单位矢量: 若kfk = 1，则称f为单位矢量。 标准正交系: 设I为可数指标集{ej}j∈I ⊂ X，若 hek, eli = δk,l, ∀k, l ∈ I 则称{ej}j∈I为标准正交系。 Bessel不等式: 对任意标准正交系{ej}j∈I , #(I) < +∞和任意x ∈ X,有 X j∈I |hx, ej i|2 ≤ kxk 2 证： 0 ≤ ° ° ° ° x − P n∈I hx, eni en ° ° ° ° 2 = hx − P n hx, eni en, x − P n hx, eni eni = kxk 2 − P n hx, eni hen, xi − P n hx, eni hx, eni + P n,k hx, enihx, eki hxn, eki = kxk 2 − 2 P|hx, eni|2 + P n,k hx, enihx, eki δn,k = kxk 2 − P n∈I |hx, eni|2 练习: 证明|hx, yi| ≤ kxk · kyk , ∀x, y ∈ X. 推论：若{ej} ∞ j=1为标准正交系，则无穷级数 X∞ j=1 | < x, ej > | 2 收敛（自证：正项级数，有上界） 从Bessel不等式推得: X∞ j=1 | < x, ej > | 2 ≤ kxk 2 . (1) 上式有可能是真的不等式（练习：举例）。若等式成立，由Bessel不等式的证明，我们 有 ° ° ° ° ° x − Pn j=1 < x, ej > ej ° ° ° ° ° → 0(n → ∞)。即有 x = X∞ j=1 < x, ej > ej (2) 当(2)成立时，称{ej} ∞ j=1为Hilbert空间X的标准正交基。 定理1：标准正交系{ej} ∞ j=1为X的基的充分必要条件是： < x, ej >= 0, j = 1, 2, · · · , ⇒ x = 0 (3)
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 证:若{e}=1为基,由(2)推得,当<x,e>=0时,有x=0.反之,若{e}=1不是 基,故存在xo使(1)成为严格不等式,从而x=x0-∑;<o,e;>e;≠0.但有<x,e1>= 0,Vj,从而与(3)矛盾。故{e}1是X的基 条件(3)称为系{e3}=1的完全性 例:20,1]中的Har系。定义Har函数x()为 x0(t)=1,0≤t≤1(尺度函数) 1,0≤t<1/2, -1,1/2<t≤1,(小波函数 2/2,0≤t<1/4 21/2,1/2≤t<3/4 21/,1/4<t≤1/2,x2()=-212,3/4<t≤1 (2k-2)/2n+1≤t<(2k-1)/2+1 k-1) t≤(2k/2) 0, 则{x(t)}是L2(0,1]的标准正交基 证:我们分两步来证明。 1){x3(t)}是标准正交系。容易验证‖!川-1 i)显然0x0(t)x(td=0x(t)dt=0,vk>0 i)当j>k≥1时,由定义有 0(t)x)(t)≡0.(同一水平n上) )当m>n时,使x(1)≠0的子空间完全包含在x取常值的子区间中,因此对任j, 有 xA)(1)0()=常数/“m xCn)(t)d=常数 (2k-2)/2m+1 2m+12 2)完全性。设f∈L2[0,1由 Cauchy-Schwarz不等式, 1/2 f(t)dt(<(/f2(t)dt 故f(t)∈L10,1]。令
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 4 证：若{ej} ∞ j=1为基，由（2）推得，当< x, ej >= 0时，有x = 0。反之，若{ej} ∞ j=1不是 基，故存在x0使(1)成为严格不等式，从而x 0 = x0 − P j < x0, ej > ej 6= 0。但有< x0 , ej >= 0, ∀j, 从而与(3)矛盾。故{ej} ∞ j=1是X的基。 条件(3)称为系{ej} ∞ j=1的完全性。 例：L 2 [0, 1]中的Haar系。定义Haar函数χ (k) n (t)为： χ (0) 0 (t) = 1, 0 ≤ t ≤ 1 (尺度函数) χ (1) 0 (t) = 1, 0 ≤ t < 1/2, −1, 1/2 < t ≤ 1, 0, (小波函数) χ (1) 1 (t) = 2 1/2 , 0 ≤ t < 1/4, −2 1/2 , 1/4 < t ≤ 1/2, 0, χ (2) 1 (t) = 2 1/2 , 1/2 ≤ t < 3/4, −2 1/2 , 3/4 < t ≤ 1, 0, χ (k) n (t) = 2 n/2 ,(2k − 2)/2 n+1 ≤ t < (2k − 1)/2 n+1 , −2 n/2 ,(2k − 1)/2 n+1 < t ≤ (2k/2)n+1 , 0, n = 0, 1, · · · , k = 1, 2, · · · , 2 n . 则{χ (k) n (t)}是L 2 [0, 1]的标准正交基。 证: 我们分两步来证明。 1）{x (k) n (t)}是标准正交系。容易验证||χ (k) n ||=1。 i) 显然 R 1 0 χ (0) 0 (t)χ (k) m (t)dt = R 1 0 χ (k) m (t)dt = 0, ∀k > 0。 ii) 当j > k ≥ 1时，由定义有： x (j) n (t)x (k) n (t) ≡ 0. (同一水平n上). iii) 当m > n时，使χ (k) m (t) 6= 0的子空间完全包含在χ (j) n 取常值的子区间中，因此对任j ， 有 Z 1 0 χ (k) m (t)χ (j) n (t)dt = 常数 Z 2k/2m+1 (2k−2)/2m+1 χ (k) m (t)dt = 常数[ √ 2m 2m+1 − √ 2m 2m+1 ] = 0. 2）完全性。设f ∈ L 2 [0, 1]。由Cauchy-Schwarz不等式， | Z 1 0 f(t)dt| ≤ µZ 1 0 f 2 (t)dt¶1/2 故f(t) ∈ L 1 [0, 1]。令
Lecture Note on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai, 2003 F(t 则F(t)是连续函数。设 ∫, f(s)xb(s)ds=0,k=1,2,…,2mn,m=0,1,2 故有 F(2k-1)/2m+1)-F(2k-2)/2m+)-F(2k/2m+1)+F(2k-1)/2m+1)=0 F(2k-2)/2m+1)-2F(2k-1)/2m+1)+F(2k/2m+1)=0 得 F(0)-2F(1/2)+F(1)=0 此为三点(0,F(0),(1/2,F(1/2),(1,F(1)共线的条件。又取m=1,k=1,知曲线y=F(t)在 横坐标t=0,1/4,1/2处的点也在一条直线上。再取m=1,k=2,这条曲线在t=1/2,3/4,1处 的点位于一条直线上。所以y=F(t)在横坐标t=0,1/4,1/2,3/4,1处的点位于同一直线上 继续下去,y=F(t)在横坐标k/2m处的点(k=0,1,2,…,2mn,m=0,1,2,…)都位于一条直 线上。由于F(t)是连续函数,y=F(t)的图像是一条直线。因此能写成 F(t)=at+B,a,B是常数. 由于F()=0故=0.而F(1)=bf()ds=/f()(0()ds=0,所以a=0,即F(t)= 0.故f(t)=0ae.,这证明了Haar系的完全性 (另证:F(0)=0,F(1)=0→F(1/2)=0.再由m=1,k=1推得F(1/4)=0,m=1,k 2推得F(3/4)=0,…,最后F(k/2m)=0.由连续性F(t)=0) 练习:构造L2(R)中的Har系 2.线性算子与同构 我们只考虑可分的 Hilbert空间 设T:X→Y,它为线性算子,若 T(ar+ By)=aT()+BT(y) 连续:若xn→x(X)→Trn→Tx(Y) 有界:存在常数K>0,使得‖Tly≤K‖l 范数:‖T为上式中最小的K,即|T=sup
Lecture Notes on Wavelets, Chapter 1, by D.Q. Dai,2003 5 F(t) = Z t 0 f(s)ds. 则F(t)是连续函数。设 < f, χ(k) m >= Z 1 0 f(s)χ (k) m (s)ds = 0, k = 1, 2, · · · , 2 m, m = 0, 1, 2 · · · . 故有 F((2k − 1)/2 m+1) − F((2k − 2)/2 m+1) − F(2k/2 m+1) + F((2k − 1)/2 m+1) = 0, 即 F((2k − 2)/2 m+1) − 2F((2k − 1)/2 m+1) + F(2k/2 m+1) = 0 取m = 0,得 F(0) − 2F(1/2) + F(1) = 0. 此为三点(0, F(0)),(1/2, F(1/2)),(1, F(1))共线的条件。又取m = 1, k = 1,知曲线y = F(t)在 横坐标t = 0, 1/4, 1/2处的点也在一条直线上。再取m = 1, k = 2,这条曲线在t = 1/2, 3/4, 1处 的点位于一条直线上。所以y = F(t)在横坐标t = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1处的点位于同一直线上。 继续下去，y = F(t)在横坐标k/2 m处的点(k = 0, 1, 2, · · · , 2 m, m = 0, 1, 2, · · ·)都位于一条直 线上。由于F(t)是连续函数，y = F(t)的图像是一条直线。因此能写成 F(t) = αt + β, α, β 是常数. 由于F(0) = 0,故β=0。而F(1) = R 1 0 f(s)ds = R 1 0 f(s)χ (0) 0 (s)ds = 0.所以α=0。即F(t) = 0.故f(t) = 0 a.e. ,这证明了Haar系的完全性。 （另证：F(0) = 0, F(1) = 0 ⇒ F(1/2) = 0.再由m = 1, k = 1推得F(1/4) = 0, m = 1, k = 2推得F(3/4) = 0, · · · ,最后F(k/2 m) = 0.由连续性F(t) = 0） 练习：构造L 2 (R)中的Haar系。 2. 线性算子与同构 我们只考虑可分的Hilbert空间。 设T : X → Y ，它为线性算子，若 T(αx + βy) = αT(x) + βT(y). 连续：若xn → x(X) ⇒ T xn → T x(Y ) 有界：存在常数K > 0，使得kT xkY ≤ K kxkX 范数：kTk为上式中最小的K，即kTk = sup x6=0 kT xk kxk