《小波分析》课程教学讲义（Wavelets）第二章 Fourier分析

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 第二章 Fourier分析 J. Fourier1807年提出周期函数可表为三角级数的和随后,关于 Fourier级数以及 Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍Ⅰ1与L2中 Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于 Heisenberg不 确定性原理,并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于 Fourier级数。第六节将引入离散 Fourier变换及快速 Fourier变换。第七节介绍窗 口 Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口 Fourier变换问题,将讨论离散化步长与框 架之间的关系 1 Fourier变换的定义及性质 定义:设∫∈L1(Rn), ourier积分 f(te dt 对任意的u∈Rn收敛,我们称它为f在u处的 Fourier变换,并记为f(u) 定理1( Riemann- Lebesgue引理):若∫∈L(R),则∫(u)连续,且当→+∞时,f(u)→0 证明:(仅对n=1)(1)f(u)连续。对ve>0,由于f∈L,彐N>0使 If(t)ldt 从而 I f(w+h)-f(w) ≤∫|e-a+b)-e-ilf(t)dt∫|e-a+b)-e-if(t)dt <2.E+ e-(+)-e-f(O)t 但当团≤N时,有 e-i+h)-e-出|=|e--11≤2tu≤2Nh 因此,只要h充分小,必有 I f(w+h)-f(w)1<5+2NIhl/If(t)ldt 故∫(u)连续

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 1 第二章 Fourier 分析 J. Fourier 1807年提出周期函数可表为三角级数的和. 随后, 关于Fourier级数以及Fourier积 分的理论逐步建立. Fourier变换得到了广泛的应用。 在第一节中将介绍L 1与L 2中Fourier变换与逆变换及其性质。第二节是关于Heisenberg 不 确定性原理，并证明函数在时域与频域内不可能同时有紧支集。第三节将介绍时不变系统并 引入滤波的概念。将解释支集的大小与分辨率的关系。第四节是取样定理的简单介绍。第 五节是关于Fourier级数。第六节将引入离散Fourier 变换及快速Fourier变换。第七节介绍窗 口Fourier变换及其重构。第八节是关于离散窗口Fourier变换问题，将讨论离散化步长与框 架之间的关系。 1 Fourier变换的定义及性质 定义: 设f ∈ L 1 (R n ), Fourier积分 Z Rn f(t)e −iωtdt 对任意的ω ∈ R n 收敛, 我们称它为f在ω处的Fourier变换,并记为 ∧ f(ω). 定理1(Riemann-Lebesgue引理): 若f ∈ L 1 (R n ), 则 ∧ f(ω)连续, 且当|ω| → +∞时, ∧ f(ω) → 0. 证明: (仅对n=1) (1) ∧ f(ω)连续。对∀ε > 0, 由于f ∈ L 1 , ∃N > 0 使 Z |t|≥N |f(t)|dt < ² 4 从而 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt < 2 · ε 4 + R |t|≤N |e −it(ω+h) − e −itω||f(t)|dt. 但当|t| ≤ N时,有 |e −it(ω+h) − e −itω| = |e −ith − 1| ≤ 2|tω| ≤ 2N|h|. 因此,只要|h|充分小, 必有 | ∧ f(ω + h) − ∧ f(ω)| < ε 2 + 2N|h| Z R1 |f(t)|dt < ε 故 ∧ f(ω)连续

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai, 2005 2 (2)次证f(u)→0当同→+∞(另证,见邓.101),我们有 I f(w)l ≤∫o)at+re-er(o e-ituf(t)dt 取g∈C(+≤N)使f-(gn)<E,则 f(t)(≤e+ tdt e-it g(t)dt g(t) N 有此推得f(u)→0. 我们考虑逆 Fourier变换。L1函数的 Fourier变换不一定属于L1,但在较强的条件下有 定理2(逆变换):若∫∈L(R")且∫∈L1(R),则 f(u)etd 证:(设n=1)我们有 +∞ f(a) 我们不能直接用 Fubini定理,因f(u)e-m(-在R2中不可积引入可积因子e-2(e>0),并 定义 I(t 由 Fubini定理,先关于u积分,有 Ie(t) 因()ee≤f()且何可积,由控制收敛定理,有 limIe(t)

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 2 (2) 次证 ∧ f(ω) → 0当|ω| → +∞(另证,见邓.101), 我们有 | ∧ f(ω)| ≤ R |t|≥N |f(t)|dt + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < ε 4 + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . 取g ∈ C 1 (|t| ≤ N)使||f − g||L1(Rn) < ε, 则 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |t|≤N e −itωf(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ ² + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z |t|≤N e −itωg(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , 但 Z |t|≤N e −itωg(t)dt = g(t)e −itω −iω | N −N + 1 iω Z N −N g 0 (t)e −itωdt 有此推得 ˆf(ω) → 0. 我们考虑逆Fourier变换。L 1函数的Fourier变换不一定属于L 1 , 但在较强的条件下有 定理2（逆变换）: 若f ∈ L 1 (R n )且 ˆf ∈ L 1 (R n ), 则 f(t) = 1 (2π) n Z Rn ˆf(ω)e iωtdω 证：（设n=1）我们有 1 2π Z ˆf(ω)e iωtdω = 1 2π Z +∞ −∞ µZ +∞ −∞ f(u)e iω(t−u) du¶ dω 我们不能直接用Fubini定理, 因f(u)e −iw(t−u)在R2中不可积. 引入可积因子e −² 2ω 2/4 (² > 0), 并 定义 I²(t) = 1 2π Z µZ f(u)e −² 2ω 2/4 e iω(t−u) du¶ dω. 由Fubini定理，先关于u积分，有 I²(t) = 1 2π Z ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωtdω 因 ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) e −² 2ω 2/4 e iωt ¯ ¯ ¯ ≤ ¯ ¯ ¯ ˆf (ω) ¯ ¯ ¯ 且 ˆf可积，由控制收敛定理，有 lim²→0 I²(t) = 1 2π Z ˆf(ω)e iωtdω

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 另一方面,由 Fubin定理,先关于u积分,有 Ie(t)=/ge(t-u)f(u)du 其中 (t) (练习:91()=e.由9()=(e-1),且∫(t)t=1,故L(t)→f(t)在D()(自 证)) 定理3(卷积):设f,h∈L(R).则g=h*f∈L1且 0(u)=h(u)f(u) 证:由定义 )=/-(/-=)) 因|f(t-)h(u)在R2上可积,由 Fubini定理和变量替换(t,u)→(v=t-u,u)得 g(w)=fei( f(u)h(u)dudu =(∫e-f(v)dt)(∫e-(u)dn) Table1: Fourier变换表: 逆f() f(-u) 卷积(1*f2)(u) 乘积f()2()是(1*)(a) 平移|f( 调制ef(t)f(u-) 尺度|∫(/s)|sf( 我们将主要在L2(R)中讨论小波,为此需要讨论这类函数的 Fourier变换 设f∈L1∩L2,则我们有 定理4 1).( Parseval等式)设f,g∈L2(R)∩L(),则 ,9)=(2n)-(,9)

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 3 另一方面，由Fubini定理，先关于ω积分，有 I²(t) = Z g²(t − u)f(u)du 其中 g²(t) = 1 2π Z e itωe −² 2ω 2/4 dω （练习：g1(t) = √ 1 π e −t 2 . 由g²(t) = ² −1 g1(² −1 t)，且 R g1(t)dt = 1，故I²(t) → f(t) 在L 1 (R)（自 证）). 定理3（卷积）: 设f, h ∈ L 1 (R n ). 则g = h ∗ f ∈ L 1且 gˆ(ω) = hˆ(ω) ˆf(ω) 证：由定义 gˆ(ω) = Z e −itω µZ f(t − u)h(u)du¶ dt. 因|f(t − u)h(u)|在R2上可积，由Fubini定理和变量替换(t, u) → (v = t − u, u)得 gˆ(ω) = R R e −i(u+v)ω f(u)h(u)dudv = (R e −ivωf(v)dv)(R e −iuωh(u)du). Table 1: Fourier变换表: f(t) ˆf(ω) 逆 ˆf(t) 2πf(−ω) 卷积 (f1 ∗ f2)(t) ˆf1(ω) ˆf2(ω) 乘积 f1(t)f2(t) 1 2π ( ˆf1 ∗ ˆf2)(ω) 平移 f(t − u) e −iuw ˆf(ω) 调制 e iξtf(t) ˆf(ω − ξ) 尺度 f(t/s) |s| ˆf(sω) 我们将主要在L 2 (R n )中讨论小波，为此需要讨论这类函数的Fourier变换。 设f ∈ L 1 ∩ L 2，则我们有 定理4： 1).（Parseval 等式）设f, g ∈ L 2 (R n ) ∩ L 1 (R n )，则 hf, gi = (2π) −n D ˆf, gˆ E

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 2).( Plancherel公式 ‖f‖=(2x) 证:置h=∫*9,其中9(t)=9(-1)。由卷积性质得 h()=f(u)·9(u) 将重构公式应用于h(0)得 f((t=h()=(2r)-/h(u)du=(2r)-(,9 设∫∈L2(R),下面我们定义它的 Fourier变换,并寻找f(u)的表达式。作球{≤N}的 特征函数 xN(t) 1,|≤N, 0,|>N. 则显然有N=XMf∈L∩D2而且/N-f2→0(N→∞) 因此,由 Plancherel公式,得: fN,→0,(N,N→∞) 由L2(R)的完备性,存在g∈L2,使得 fN→g 定义g为f,则因f∈L1,所以 e- f(t)dt 故在L2中,有 f(u)=lim/e-ituf()dt ≤N 例:设∫()=e-2,求f(u) 显然f^(a)=JNee-dt满足微分方程2/()+uf()=0.所以f()=Ke-/, 又f(0)=√亓,故f(u)=√e-/4 关于函数的正则性与它的 Fourier变换大小的关系,前面已经说明f∈L时,它的 Fourier变 换为连续函数,且在无穷远处为0.反之,我们有 定理5若s|)+b<+x,则∫及其直到次导数连续有界 证:因F(f()(t)=(u)f(u),由此推得

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 4 2).（Plancherel 公式） kfk = (2π) − n 2 ° ° ° ˆf ° ° ° . 证：置h = f ∗ g ∼ , 其中g ∼ (t) = g(−t)。由卷积性质得 hˆ(ω) = ˆf(ω) · gˆ ∼ (ω) 将重构公式应用于h(0)得 Z f(t)g(t)dt = h(0) = (2π) −n Z hˆ(ω)dω = (2π) −n ¿ ˆf, gˆ ∼ (ω) À . 设f ∈ L 2 (R n )，下面我们定义它的Fourier变换，并寻找 ˆf(ω)的表达式。作球{|t| ≤ N} 的 特征函数 χN (t) = ( 1, |t| ≤ N, 0, |t| > N. 则显然有fN = χN f ∈ L 1 ∩ L 2 而且kfN − fkL2 → 0 (N → ∞) 因此，由Plancherel 公式，得： ° ° °fcN − fcN0 ° ° ° L2 → 0,(N, N0 → ∞) 由L 2 (R n )的完备性，存在g ∈ L 2，使得 ∧ fN → g 定义g为 ˆf，则因fN ∈ L 1 ，所以 ∧ fN (ω) = Z |t|≤N e −itωf (t) dt 故在L 2中，有 ˆf (ω) = lim N→∞ Z |t|≤N e −itωf (t) dt. 例: 设f (t) = e − t 2，求 ˆf(ω). 显然f ∧ (ω) = R |t|≤N e −t 2 e −itωdt 满足微分方程2 ˆf 0 (ω) + ω ˆf (ω) = 0. 所以 ˆf (ω) = Ke−ω 2/4 , 又 ˆf (0) = √ π，故 ˆf (ω) = √ πe−ω 2/4 关于函数的正则性与它的Fourier变换大小的关系, 前面已经说明f ∈ L 1时，它的Fourier变 换为连续函数，且在无穷远处为0. 反之，我们有 定理5: 若 R +∞ −∞ ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯(1 + |ω| p )dω < +∞ . 则f及其直到p次导数连续有界。 证：因F(f (k) (t)) = (iω) k ˆf(ω), 由此推得

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D Q. Dai, 2003 f()bu<+∞对vk≤p 因此f()(t)连续,有界 推论 )若f(u)≤K/(1+kP++)(e>0),则f∈CP, 2)若supp∫紧致,则f∈C∞ 更一般的结论是 Sobolev嵌入定理 2测不准原理 量子力学中,波函数∫∈D2(R描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为m=f(t)2.相 应的在处的矩密度是amr(a) 粒子的平均位置是 iP/4o(期望值) 平均矩 相应的方差值为 f|2 (t-)2|f(t)2at 大的σ度量自由粒子位置的不确定性,大的σ度量自由粒子矩量的不确定性 定理6( Heisenberg测不准原理) 且等号成立,当且仅当 f(t)=ae(-b-),(v,5,a,b)∈R2×C2

Lecture Notes on Wavelets, Chapter 2, by D.Q. Dai,2003 5 ¯ ¯f (k) (t) ¯ ¯ ≤ 1 2π Z ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ |ω| k dω < +∞ 对∀k ≤ p 因此f (k) (t)连续，有界. 推论： 1）若| ˆf(ω)| ≤ K/(1 + |ω| p+1+² )(² > 0)，则f ∈ C p , 2）若supp ∧ f紧致，则f ∈ C ∞. 更一般的结论是Sobolev嵌入定理。 2 测不准原理 量子力学中，波函数f ∈ L 2 (R)描述一维粒子的状态。在位置t的概率密度为 1 kfk 2 |f(t)| 2。相 应的在ω处的矩密度是 1 2πkfk 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ∧ f(ω) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 粒子的平均位置是： u = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ t|f(t)| 2 dt（期望值） 平均矩: ξ = 1 2π kfk 2 Z +∞ −∞ ω ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 相应的方差值为 (σt) 2 = 1 kfk 2 Z +∞ −∞ (t − u) 2 |f(t)| 2 dt (σω) 2 = 1 2π kfk 2 Z∞ −∞ (ω − ξ) 2 ¯ ¯ ¯ ˆf(ω) ¯ ¯ ¯ 2 dω 大的σt度量自由粒子位置的不确定性, 大的σω度量自由粒子矩量的不确定性. 定理6（Heisenberg测不准原理）: σ 2 t σ 2 ω ≥ 1/4 且等号成立，当且仅当 f(t) = aeiξt−b(t−u) 2 ,(u, ξ, a, b) ∈ R 2 × C 2