Ch21各种积分间的联系与场论初步 计划课时:8时 P335372 2005.1.15 Ch21各种积分间的联系与场论初步 §1各种积分间的联系 1.Gren公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面(理 解为拇指“站立在”区域的正面上),则其余四指(弯曲)表示边界的正向.右手螺旋 定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让区域在人的左方.则人前进的方 向为边界的正向.若以L记正向边界,则用一L或L表示反向(或称为负向)边界 Th23若函数P和Q在闭区域DcR2上连续,且有连续的一阶偏导数,则有 ao aP dxdy=A Pdx+Ody 其中L为区域D的正向边界(证)[1P373 Grm公式又可记为∫=5P+h P 2.应用举例 对环路积分,可直接应用 Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路 积分的技巧 例1计算积分xd,其中A(0,r),B(r,0)曲线AB为圆周 x2+y2=r2在第一象限中的部分 解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为x=reos,y= rsin t,0≤1≤z
Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 计划课时：8 时 P 335—372 2005. 11.15 . Ch 21 各种积分间的联系与场论初步 § 1 各种积分间的联系 1． Green 公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理 解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋 定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方 向为边界的正向. 若以 L 记正向边界, 则用—L 或 L 表示反向（或称为负向）边界. − Th22.3 若函数 P 和 Q 在闭区域 D ⊂ R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有 2 ∫∫ ∫ += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ D L dxdy QdyPdx y P x Q , 其中 L 为区域 D 的正向边界. ( 证 ) [1]P373 Green 公式又可记为 ∫∫ ∫ ∂ += ∂ ∂ ∂ D L dxdy QdyPdx QP yx . 2．应用举例: 对环路积分, 可直接应用 Green 公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路 积分的技巧. 例1 计算积分 ∫ , 其中 A B . 曲线 AB 为圆周 AB xdy r , ) , 0 ( r ) 0 , ( 222 =+ ryx 在第一象限中的部分. 解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线 AB 的方程为 2 0 , sin , cos π = = ttrytrx ≤≤
方向为自然方向的反向.因此 解法二(用Gren公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围区域为 D,注意到OD为反向,以及 BOd 巾=xdy 例2计算积分=2一,其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任 意) 解P(xy)=-x2+ 2(x,y) x+y2(P和O在D上有连续的偏导数) ap a (x2+y2) 于是,I dO d y= 0 例3验证区域D的面积公式 D=xdhy-yr,L为D的正向边界 例4计算由星形线x=acos3t,y=bsin3t(0≤t≤2x)所界的面积 例5 计算积分5xa+(xy+x),其中L是由曲线 y=x2,y=2x2,xy=3,xy=4所围区域D的边界,取正向 M P(x, y)=xy, o(,y)=xy+x aP 2xy dxdy ay 263
方向为自然方向的反向. 因此 ∫ ∫ ⎟ −= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= +−= AB rttrtdtrxdy 2 2 0 2 0 22 2 4 2sin 2 1 2 1 cos π π π . 解法二 ( 用 Green 公式 ) 补上线段 BO 和 OA ( O 为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为 D, 注意到∂ D 为反向, 以及 ∫ = 0 , 有 BOA ∫AB xdy ∫ ∫ ∫∫ ∂ −=−=−= D BOA D xdy xdy dxdy r 2 4 π . 例2 计算积分 I = ∫ + − L yx ydxxdy 22 , 其中 L 为任一不包含原点的闭区域 D 的边界(方向任 意 ) 解 22 22 ),( ),( , yx x yxQ yx y yxP + = + −= . ( P 和Q 在 D 上有连续的偏导数). ( )2 22 22 22 yx xy yx y xy P + − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∂ ∂ = ∂ ∂ , 222 22 yx )( xy x Q + − = ∂ ∂ . 于是, I = ∫∫∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = D L dxdy y P x Q 0 . 例 3 验证区域 D 的面积公式 |D| ∫ −= L ydxxdy 2 1 , L 为 D 的正向边界. 例 4 计算由星形线 ) 20 ( sin , cos 所界的面积. 3 3 = = ttbytax ≤≤ π 例 5 计算积分 ∫ ++ L )( dyxyxdxxy 2 2 , 其 中 L 是由曲线 , 2 2 == 2 , xyxy = xyxy = 4 , 3 所围区域 D 的边界, 取正向. 解 ,),( . 2 = xyyxP += xyxyxQ 2 ),( , 12 , 2 = 1 ∂ ∂ − ∂ ∂ ⇒+= ∂ ∂ = ∂ ∂ y P x Q xy x Q xy y P . ∫∫∫ = D L dxdy . 263
作代换=y v=x,在此代换之下,区域D变为UV平面上的区域 D={(u,y)1≤u≤2,3≤v≤4 d(u,v) .1 于是fb==如=广m==m2 例6计算积分edd,D:x≤y≤1,0≤x≤1 解令P(x,y)=0,Q(x,y)=xe,有 P(x, y)dx+o(x, y)dy 域D为三角形,三个顶点为O(0,0),A(1,1),B(0,1)→ [ =f PLx, y)dx+@(x, y)dy=h o(x, y)dy=l-f (1-e-) P346-347 §5Gms公式和Soke公式(3时) Gs公式 Th26设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成若函数P,Q,R在V 上连续,且有连续的一阶偏导数,则 kidd:=ff Pda: @dedr+ Rdrdy 其中S取外侧 称上述公式为Gas公式或 OcTporpaAcKH一Gmss公式
作代换 xyv x y u , == 2 , 在此代换之下 , 区域 D 变为 UV 平面上的区域 ′ = ≤ uvuD ≤ ≤ v ≤ } 43 , 21|),( { . = − = ∂ ∂ xy xx y yx vu 23 12 ),( ),( u x y 3 3 2 −=− , uvu yx 3 1 ),( ),( = ∂ ∂ ⇒ . 于是, ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ == = = D D L u dv dududv u dxdy 2 1 4 3 3 3 1 ∫ == 2 1 2 1 2ln 3 1 ln 3 1 3 1 u u du . 例 6 计算积分 , D : ∫∫ − D y dxdye 2 ≤ yx ≤ ≤ x ≤ 10 , 1 . 解 令 , 有 2 ),( , 0),( y xeyxQyxP − = = ∫∫∫ ∂ = + D D ),(),( dyyxQdxyxP . 域 D 为三角形, 三个顶点为 O A , ) 0 , 0 ( ) 1 , 1 ( , B ) 1 , 0 ( .⇒ ∫∫∫ ∫∫∫ = + = =−= ∂D ∂D BOOA D dyyxQdyyxQdxyxP ),(),(),( )1( 2 1 2 1 1 1 0 1 0 2 2 − − − = −=−= ∫ edxxe e x x . Ex P346-347 § 5 Gauss 公式和 Stokes 公式 ( 3 时 ) 一. Gauss 公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 S . 若函数 在 , , RQP V 上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 ∫∫∫ ∫∫ = ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ S V dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P , 其中 S 取外侧. 称上述公式为 Gauss 公式或Остроградский―Gauss 公式. 264
证只证0oh=Rh 设V是x型区域(即Z一型体)(参阅[]P393图22-21),其边界曲面S由曲面 (x,y)下侧 y) ∈D S2:z==(xy)上侧,(xy)∈Dn(=1(x,y)≤=2(xy).) 以及垂直于X平面的柱面S3(外侧)组成.注意到R(x,y,z) dxdy=0,有 41,a2=(Rx2)=m)k [ dxdyds=dxdy 2(,)aR [IR(x,3,=2(x, y)R(x, y,=,(x, D)kdxe JR(x, V, =2(x, y)dxdy-JR(x, y,=(x,y)drdy R(,y, =)dxdy+R(x,y,2 R(,y, =)dxdy 乐 R(,y, z)dxdy 可类证 dxdyd:=H Pdyd= dyd==HOded Ov 以上三式相加,即得Gass公式 例1计算积分(x+y)+(y-)ta+(=+3)dh,为球面 x2+y2+z2=R2取外侧.(参阅上节例2 解P(x,y,=) aP OR aP 00 OR ax ay az
证 只证 ∫∫∫ ∫∫ = ∂ ∂ V S dxdydz Rdxdy z R . 设 V 是 xy 型区域( 即 Z − 型体 ) ( 参阅[1]P393 图 22—21 ), 其边界曲面 由曲面 S ),( : 1 1 = yxzzS 下侧 , yx ),( ∈D , xy ),( : 2 2 = yxzzS 上侧 , yx ),( ∈D . xy ( ),(),(1 2 ≤ yxzyxz . ) 以及垂直于 XY 平面的柱面 S3 (外侧)组成. 注意到 ∫∫ = , 有 3 ),,( S dxdyzyxR 0 ( zyxRdz )dxdy z R dxdydz dxdy z R V D yxz yxz D yxzz yxzz xy xy ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ = = = ∂ ∂ = ∂ ∂ ),( ),( ),( ),( 2 1 2 1 |),,( = [ ] ( ) ( ) ∫∫ = − = Dxy 2 1 ),(,,),(,, dxdyyxzyxRyxzyxR ( ) ∫∫ = − Dxy 2 ),(,, dxdyyxzyxR ( ) = ∫∫ Dxy 1 ),(,, dxdyyxzyxR = + + = ∫∫ ∫∫ 2 1 ),,( ),,( S S dxdyzyxRdxdyzyxR ∫∫ 3 ),,( S dxdyzyxR dxdyzyxR S ),,( ∫∫ = 外侧 . 可类证 ∫∫∫ ∫∫ = ∂ ∂ V S dxdydz Pdydz x P , ∫∫∫ ∫∫ = ∂ ∂ V S dxdydz Qdzdx y Q . 以上三式相加, 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分 ∫∫Σ ++−++ )3()()( dxdyxzdzdxzydydzyx ， 为球面 取外侧. ( 参阅上节例 2 ) Σ 2222 =++ Rzyx 解 = + = − = + 3),,( , ),,( , ),,( xzzyxRzyzyxQyxzyxP . ⇒= . 1 , 1 , 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ z R y Q x P = . 3 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z R y Q x P 265
由Gm公式-M在=3R=42 例2计算积分乐yx-)+x2dd+(y2+x)db,其中S是边长为 a的正方体V的表面取外侧v:0≤x≤a,0≤y≤a,0≤2≤a.[1P394E1 解应用 Gauss公式,有 练--0…+p的 ∫y+x)b小+x)=q+ap= 000 例3计算积分xd+ydax+a,∑为锥面z=√x2+y2在平面 z=4下方的部分,取外法线方向 解设S为圆z=4,x2+y2≤16取上侧,则Σ+S构成由其所围锥体v的表面 外侧,由Gass公式,有 xdydz ydedx +=dxdy 64 add=3×锥体v的体积=3y=64 而 xdydz+ ydzdx+eddy=4 dxdy=64T x2+y2≤1 因而,∫=-∫=0 例4设V是三维空间的区域,其内任何封闭曲面都可不通过v外的点连续收缩 为F上的一点.又设函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,y,z)在V上有连续的偏导数.S 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面,n是S的外法线试证明:对V内任意曲面S恒有 f[cos(n, x)+@cos(n, y)+Rcos(n, =)Is=0
由 Gauss 公式 ∫∫ ∫∫∫ Σ = =⋅= V dxdydz RR3 3 4 3 4 33 ππ . 例 2 计算积分 ∫∫ +++− S )( )( dxdyxzydzdxxdydzzxy 2 2 ，其中 是边长为 S a 的正方体 V 的表面取外侧. V : ≤≤ ≤ ≤ 0 , 0 , 0 ≤ ≤ azayax . [1]P394 E1 解 应用 Gauss 公式 , 有 ( ) ∫∫∫∫∫ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +− ∂ ∂ = V S dxdydzxzy z x y zxy x )( )( 2 2 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = +=+ V aaa a dxdydzxy adyaayadxxydydz 000 0 2 4 2 1 )( )( . 例3 计算积分 ∫∫ ， Σ xdydz ydzdx ++ zdxdy Σ 为锥面 22 += yxz 在平面 z = 4下方的部分，取外法线方向 . 解 设 为圆 S , 4 16取上侧 , 则 22 yxz ≤+= Σ + S 构成由其所围锥体 V 的表面 外侧 , 由 Gauss 公式 , 有 ∫∫ +Σ =++ S xdydz ydzdx zdxdy =3∫∫∫dxdydz 3×= 锥体 V 的体积 V 64ππ 3 64 3 =⋅= ; 而 ∫∫ ∫∫ ≤+ =++ = S yx xdydz ydzdx zdxdy dxdy 16 22 4 64π 因而, 0 ∫∫∫∫∫∫ =−= +ΣΣ SS . 例4 设 V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过 V 外的点连续收缩 为 V 上的一点. 又设函数 、 和 在 zyxP ),,( zyxQ ),,( zyxR ),,( V 上有连续的偏导数. S 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, n 是 的外法线 S . 试证明: 对 V 内任意曲面 恒有 S [ ] ∫∫ + + = S dSznRynQxnP 0),cos(),cos(),cos( 266