Ch20重积分的计算及应用 计划课时:12时 P254294 2005.09.26. Ch20重积分的计算及应用(12时) §0二重积分概念(2时) 、矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割 定义二重积分 例1用定义计算二重积分 用直线网x=,y=,(≤,j≤n)分割该正方形,在每个正方形上取其右 n 上顶点为介点 =lim∑ =im∑∑2j= nn n =lm∑2∑/=lm1.1mn+012n+1,m+ 6 可积条件:D=[a,b;c,d].大和与小和 Th∫∈R(D),「= Th2f∈R(D),sVE>0,3T,3∑o,△a,<6 Th3∫在D上连续,→f在D上可积 Th4设[a,月c[a,b],q:[a,B→R为[a,上的可积函数 E={(x,y)y=q(x),x∈[a,B}∈D (或E={(x,y)x=(y),y∈[,川c[c,dl}∈D).若∫在D上有界 且在D\E上连续,则∫在D上可积 三、一般域上的二重积分:
Ch 2 0 重积分的计算及应用 计划课时： 1 2 时 P 254—294 2005. 09 .26. Ch 20 重积分的计算及应用 ( 1 2 时 ) § 0 二重积分概念 ( 2 时 ) 一、 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 . ∫∫ ]1,0;1,0[ 2 ydx σ 用直线网 nji ),1( , , n j y n i x ≤≤== 分割该正方形 , 在每个正方形上取其右 上顶点为介点 . 解 ∫∫ ∑∑ ∑∑= = ∞→ = = ∞→ ⎟ =⋅⋅⋅ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i n j n n i n j n D ji nnn n j n i 1 1 2 5 1 1 2 1 lim 11 lim ∑ ∑ = ∞→ = ∞→ = + ⋅++⋅=⋅= n i n n j n nn nnn n ji 1 5 1 2 6 1 2 )1( )12)(1( 6 11 lim lim . 二. 可积条件: D = dcba ] , ; , [ . 大和与小和. Th 1 ∈ DRf )( , ⇔ . −− ∫∫ = − DD Th 2 ∈ DRf )( , ⇔ ε T , , 0 ∑ ii <Δ∋∃>∀ εσω . Th 3 f 在 D 上连续 , ⇒ f 在 D 上可积 . Th 4 设 α β ⊂ ba ] , [] , [ , ϕ α β ] , [ : → R 为 α β ] , [ 上的可积函数. = = ϕ xxyyxE α β ⊂∈ ]} , [ , )(|),( { D, ( 或 = = ϕ yyxyxE λ μ dc ]} , [] , [ , )(|),( { ⊂⊂∈ D ) . 若 在 D 上有界 , 且在 D \ f E 上连续 , 则 在f D 上可积 . 三、一般域上的二重积分：
定义:一般域上的二重积分 2.可求面积图形:用特征函数定义 例2(不可求面积图形的例) 四、二重积分的性质 性质14f=kf 性质2关于函数可加性 性质3intD1∩intD2=p,D=D∪D2.则∫在D上可积∫在D1 和D2可积,且∫=「+ 性质4关于函数单调性 性质5js∫f 性质6m≤f≤M,→m△D≤|f≤MAD 性质7中值定理 Th若区域D的边界是由有限条连续曲线(y=(x),x∈[a,b]或 x=v(y),y∈le,d])组成,∫在D上连续,则∫在D上可积 例3去掉积分「x2-yddy中的绝对值 §1二重积分的计算(6时) 化二重积分为累次积分: 1.矩形域D=[a,b]×[c,d]上的二重积分: 用“体积为幂在势上的积分”推导公式.一般结果 例3(x+y)2dxdh ), 1x0, 11 例4∫xydh 2.简单域上的二重积分:简推公式,一般结果 例5』d 解D为三角形,三个顶点为(0,0),(1,2),(2,1) d=D上=2l= 3 Ex P27 237
1．定义： 一般域上的二重积分. 2．可求面积图形: 用特征函数定义. 例 2 (不可求面积图形的例 ) 四、二重积分的性质 : 性质 1 . ∫ ∫ = D D fkkf 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 , intint . 1 ∩ 2 = φ ∪= DDDDD 21 则 在f D 上可积 ⇔ 在 和 可积 , 且 . f D1 D2 ∫∫∫ += 1 DDD 2 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5 . ∫ ∫ ≤ D D ff || || 性质 6 DMfDmMfm . D Δ≤≤Δ⇒≤≤ ∫ , 性质 7 中值定理 . Th 若区域 D 的边界是由有限条连续曲线 ( = ϕ ∈ baxxy ],[ , )( 或 =ψ ∈ dcyyx ],[ , )( )组成 , f 在 D 上连续 , 则 在f D 上可积 . 例 3 去掉积分 中的绝对值 . ∫∫ − ]1,0;1,0[ 2 || dxdyyx § 1 二重积分的计算 ( 6 时 ) 一. 化二重积分为累次积分: 1．矩形域 ×= dcbaD ] , [ ] , [ 上的二重积分: 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 一般结果. 例 3 . ∫∫ × + ]1,0[]1,0[ 2 )( dxdyyx 例 4 ( 8 ) ∫∫ ]3,1;2,0[ xydxdy 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果. 例 5 , ∫∫ D dxdy = = + yxyxxyD = 3 , 2 , 2 : . 解 D 为三角形, 三个顶点为 ) 1 , 2 ( , ) 2 , 1 ( , ) 0 , 0 ( , ∫∫ D dxdy 2 3 112 121 100 2 1 D || == = . Ex P272. 237
16/=[xe"dxdy, D:x=0,y=l,y=x 例7求底半径为R的两直交圆柱所围立体的体积 二重积分换元 换元公式:设变换x=x1),y=y1)的0Mxy)≠0,则 a(,v) f(x,y)dxdy=If(r(u, v),y(u, v) a(x, duds a(l,) 其中D’是在该变换的逆变换u=u(x,y),v=v(x,y)下XY平面上的区域D在 U平面上的象.由条件y)≠0,这里的逆变换是存在的 a(,v) 般先引出变换=(x,y),v=v(x,y),由此求出变换 x=x(u, v ),y=y(u,,) a(x,=au, v)- a(u,v)a(x,y) 例 dxd 0,x+y=1 D 註当被积函数形如∫(a1x+by+c1,a2x+b2y+c2)(a1b2≠a2b1),积分 区域为直线型时,可试用线性变换l=a1x+by+c1,v=a2x+b2y+c2 例9「x 解设n=2,y=xy,则(n,y)∈[,2;1,3] x a(u,v) X a(,y) a(u, v) 2y 註若区域D是由两组“相似”曲线(即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别)围成的四线型区域,可引进适当的变换使其变成矩形区域.设 区域D由以下两组曲线围成 第一组:F(x,y,p)=0,F(x,y,q)=0,(p<q) 238
例 6 , ∫∫ − = D y dxdyexI 2 2 = = , 1 , 0 : = xyyxD . 例 7 求底半径为 R 的两直交圆柱所围立体的体积 . 二. 二重积分换元: 1. 换元公式: 设变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( 的 Jacobi 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 则 ( ) ∫∫ ∫∫′ ∂ ∂ = D D dudv vu yx vuyvuxfdxdyyxf ),( ),( ),( ),( , ),( , 其中 是在该变换的逆变换 D′ = = yxvvyxuu ),( , ),( 下 XY 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 D UV 0 ),( ),( ≠ ∂ ∂ vu yx , 这里的逆变换是存在的. 一般先引出变换 = = yxvvyxuu ),( , ),( , 由此求出变换 = = vuyyvuxx ),( , ),( .而 1 ),( ),( ),( ),( − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ∂ ∂ yx vu vu yx . 例 8 ∫∫ + − D yx yx dxdye , == + yxyxD = 1 , 0 , 0 : . 註 当被积函数形如 ( , ) ( ) 1221222111 ++ + + ≠ babacybxacybxaf , 积分 区域为直线型时, 可试用线性变换 111 222 = + + , = + + cybxavcybxau . 例 9 , ∫∫ dxdyyx 22 D x y x yxyxyD 3 , 1 , 2 , 2 1 : ==== . 解 设 xyv x y u , == . 则 ] 3 , 1 ; 2 , 2 1 vu ∈ [) , ( . x y xy x x y yx vu 2 1 ),( ),( 2 = − = ∂ ∂ ， ⇒ uy x vu yx 2 1 2),( ),( == ∂ ∂ . 因此 , ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ′ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅=⋅= D D u v u du dvvdudv u v 3 1 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2ln 3 26 ln 32 1 2 1 2 1 . 註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同 的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域. 设 区域 由以下两组曲线围成 : D D 第一组: = qyxFpyxF = < qp ) ( , 0),,( , 0),,( ; 238
第二组:G(x,y,a)=0,G(x,y,b)=0,(a<b) 可试用变换F(x,y,u)=0,G(x,y,v)=0.(u,v)∈[p,q;a,b].从中解 出x=x(lu,v),y=y(u,v).在此变换之下,区域D变成U/平面上的矩形区域 [p,q]×[a,b] 例10求由抛物线y2=mx,y2=nx(0<m<n)和直线 y=ax,y=【(0<a<B)所围平面区域D的面积。 2.极坐标与广义极坐标变换: 极坐标变换:x=rcos,y=rsmO,(x,y)=r a(r,) 广义极坐标变换:x= ar coS,y= brsin 0 la(x,y)=ab 例1∫ ysl V 例12( Viviani问题)求球体x2+y2+z2≤R2被圆柱面x2+y2=Rx所割 下立体的体积 例13应用二重积分求广义积分jed 例14求橢球体二++二≤1的体积 三、积分换序: 例15f连续对积分[!f(x,y)换序 dyl, f(x, y)dx 例16厂连续,对积分∫上(xy换序 dxh f(x, y)dy+l dx, f(, y)dy 例17计算积分[d[edr 例18求积分I (b>a>0) 239
第二组: = byxGayxG = < ba ) ( , 0),,( , 0),,( . 可试用变换 = vyxGuyxF = 0),,( , 0),,( . ∈ baqpvu ] , ; , [) , ( . 从中解 出 . 在此变换之下, 区域 变成UV 平面上的矩形区域 . = = vuyyvuxx ),( , ),( D × baqp ] , [ ] , [ 例 10 求由抛物线 ) 0 ( , 和 直 线 2 2 <<== nmnxymxy α , == βxyxy α << β 0 ( ) 所围平面区域 的面积。 D 2. 极坐标与广义极坐标变换: 极坐标变换: = θ = ryrx sin , cos θ , r r yx = ∂ ∂ ),( ),( θ . 广义极坐标变换: = arx θ = bry sin , cos θ , abr r yx = ∂ ∂ ),( ),( θ . 例 11 ∫∫ ≤+ −− 4 1 22 22 1 yx yx dxdy . 例 12 ( Viviani 问题 ) 求球体 被圆柱面 所割 下立体的体积 . 2222 ≤++ Rzyx =+ Rxyx 22 例 13 应用二重积分求广义积分 . ∫ +∞ − 0 2 dxe x 例 14 求橢球体 1 2 2 2 2 2 2 ≤++ c z b y a x 的体积. 三、积分换序: 例 15 f 连续 . 对积分 换序. . ∫ ∫ e x dyyxfdx 1 ln 0 ),( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ ∫ 1 0 ),( e e y dxyxfdy 例 16 f 连续 . 对积分 ∫ ∫ 4 1 1 ),( dxyxfdy y y 换序. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫∫ ∫∫ 1 4 1 4 1 2 1 4 2 ),( ),( x x dyyxfdxdyyxfdx . 例 17 计算积分 . ∫ ∫ 1 0 1 2 y x dxedy ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − )1( 2 1 e . 239 例18 求积分 ∫ >> − = 1 0 ) 0 ( . ln abdx x xx I ab
ExP273-275 重积分可积性与换元公式(2时) (一).可积性:回顾一元函数可积条件的讨论 h函数f(x,y)在ⅪOy平面上可求面积区域D上(R)可积分对VE>0 存在区域D的分割T,使得∑0,AD<E.这里O,为函数f(x,y)在△D上 的振幅,即O=supf(x,y)-nff(x,y)=sup|f(P)-f(P2) B,P2∈△ 例1设f(x,y)=f1(x)2(y)为定义在矩形域D=[a1,b1]×{a2,b2]上的函数 若函数f在[a1b1]上可积,f2在[a2b2]上可积.则函数∫在D上可积 且 f=」f2 证对VE>0,存在区间[a1,b]的分法T和区间[a2b2]的分法72,使 ∑ ()Ax,<,∑o()Ay<E 这里o(1)=sup|f(x)-f(x"), r rEr-i,rI (2)=sup|2()-/2() y',yElyr-1 ',I 71×72构成D的一个分割,在第订个小矩形Ax1×△y/上,注意到 lf(x)f2(y)-f1(x")2(y) =f1(x)(y)-f(x”)f2(y)+f1(x")f2(y)-f1(x")2(y”)≤ ≤|f2(y")‖f(x)-f(x”)+|f1(x)‖f2(y)-f2(y”) →2O)=sup|f(x)2(y)-f1(x”)2(y”) (x,y')(x",y)e△x ≤sup|f2(y")‖f(x)-f1(x")+ supI f(x”)‖f2(y)-f2(y” ≤Mo,()+Mo,(/2),其中f1(x)M,|f2(y)M 于是在D的分割71×T2之下,有
Ex P273—275. 三、二重积分可积性与换元公式 ( 2 时 ) （一）． 可积性：回顾一元函数可积条件的讨论. Th 函数 yxf ),( 在 XOY 平面上可求面积区域 D 上(R)可积 ⇔ 对 ∀ε > 0 , 存在区域 的分割 D T , 使得 ∑ Dii <Δ εω . 这里ω i 为函数 yxf ),( 在 ΔDi 上 的振幅 , 即 |)()(|sup),(inf),(sup 1 2 , 21 yxfyxf PfPf i i i DPP D D i = − = − Δ∈ Δ Δ ω . 例1 设 = 21 yfxfyxf )()(),( 为定义在矩形域 ],[],[ 2211 = × babaD 上的函数. 若函数 在 上可积 , 在 上可积 . 则函数 在 上可积 , 且 1f ],[ 11 ba 2 f ],[ 22 ba f D . ∫ ∫ ⋅= D b a b a fff 2 2 1 1 ∫ 21 证 对 ε >∀ 0 , 存在区间 的分法 和区间 的分法 ba 11 ],[ T1 ba 22 ],[ T2 , 使 ∑ , ∑ . = <Δ n i i i xf 1 1 ω )( ε = <Δ m j j j yf 1 2 ω )( ε 这里 |)()(|sup)( 1 1 ],[, 1 1 f xfxf ii xxxx i = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω , |)()(|sup)( 2 2 ],[, 2 1 f yfyf jj yyyy j = ′ − ′′ ∈ − ′′′ ω . ×TT 21 构成 的一个分割 D , 在第 个小矩形 ij ji Δ × Δyx 上 , 注意到 21 ′′ − ′′ 21 yfxfyfxf ′′ |)()()()(| = = 21 ′′ − 21 ′′′ + ′′ 21 ′ − ′′ 21 yfxfyfxfyfxfyfxf ′′ |)()()()()()()()(| ≤ |)()(||)(||)()(||)(| 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ . ⇒ ω ij f )( = )()()()(|sup | 21 21 ),(),,( yfxfyfxf ji yxyxyx ′ ′ − ′′ ′′ ′′′′′′ ΔΔ∈ |)()(||)(|sup|)()(||)(|sup 2 1 1 1 2 2 ≤ ′′ ′ − ′′ + ′′ ′ − yfyfxfxfxfyf ′′ )()( 1 2 ≤ ωi + ω j fMfM , 其中 ≤ |)(| , |)(| ≤ MyfMxf1 2 . 于是在 的分割 之下 D ×TT 21 , 有 240